[IOI2016]shortcut 题解
题意描述
在一个 \(n\) 个点的链上，每个点下面挂了一条长度为 \(d_i\) 的边
现在可以添加一条边连接两个链上的点，这条边长度为 \(c\)，现在要使直径最小
题解
\(IOI\) 题目被 \(wc\) 老师五分钟带过……
首先求出每个点到第一个点的距离，设其为 \(L\)，那么每两点间的最短路就是 \(L_j-L_i+d_i+d_j\)
若在 \(a,b\) 两点间添加一条边，那么 \(i,j\) 间的距离就变成 \(|L_i-L_a|+|L_j-L_b|+d_i+d_j\)
那么这个时候我们想找到 \(min(式1，式2)\) 的最大值
这个时候想到了二分一个 \(M\)，然后去验证这个 \(M\)是否可行
对于加边前，两点距离就已经小于等于 \(M\) 的，我们就没必要管他，重点是 \(L_j-L_i+d_i+d_j>M\) 的
然后我们看一下式二，既然式一不能满足限制，那么式二肯定要满足限制，也就是 \(|L_i-L_a|+|L_j-L_b|+d_i+d_j \leq M\)
然后就考虑爆拆绝对值，分别求最小值再求交
然后老师就默认大家都会，没有讲了
其实呢，老师的意思是，把绝对值爆拆之后，把含 \(a,b\) 的项移到右边去，构成约束，找到最紧的约束，这样就可以判
于是我们来拆开这个式子看一下（分类中的小于等于和大于等于就省略掉等于了）
一
- \(L_j>L_b\)且\(L_i>L_a\)
- \(L_j>L_b\)且\(L_i<L_a\)
二
- \(L_j<L_b且L_i>L_a\)
- \(L_j<L_b且L_i<L_a\)
啊,\(mk\) 排版有待提升
然后我们得到了一系列约束，这个时候我们发现很多符号不太统一，所以我们给第二、四种情况两边取负，这样的话 \(L_a\) 就一直会是正的（然后我们会从求最大值变成求最小值）
我们对于四种情况，把左式求出，考虑枚举一个 \(j\)，我们可以想到用一个线段树来找到 \(L_i+d_i\) 或 \(L_i-d_i\) ，似乎需要两棵树（没试过）
这样的话时间就是 \(O(nlog_nlog_n)\)，还是过不去，我们还需要更好的
原课件是证明了一个单调性之后使用双指针，但是我并没有看懂，于是在网上找到了一位大佬的代码做参考，使用单调队列
然后由于我比较菜，一眼看过去并不怀疑其正确性，所以没有研究为什么单调队列就可以了
然后我们说一下怎么判断有没有解
我们的 \(L\) 数组肯定是单调不降的，这没问题，但是细心的小伙伴可能发现，有没有可能，第一种情况下，约束是最紧的，但是我们在该约束条件下找到的\(a,b\)并不满足该约束的前提（也就是 \(L_j>L_b\)且\(L_i>L_a\) ）
这是不可能的，因为如果不符合前提，那么爆拆绝对值之后的值就是负数，不是最优的
最后，枚举一个 \(a\)，用两组 \(l,r\) 分别代表两组约束,然后如果 \(r1>=l1且r1>=l2\)，\(r2\)同理，成立，那么就是有解了
具体细节可以看代码(这次没有放毒瘤码风了)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const ll inf=((1ll<<62)-1);
ll n,m,s[10100101],d[1010001],L,R,ans,mid;
bool check(ll sam){
ll mx1=-inf,mx2=-inf,mn1=inf,mn2=inf,Mx=-inf,mx=d[1]-s[1];
ll qq[1001001],l1=n+1,r1=n,l2=1,r2=0,l=1,r=1;
qq[1]=1;
for(ll i=2;i<=n;++i){
if(mx+s[i]+d[i]>sam){
mn1=min(mn1,sam-d[i]+s[i]-mx-m);
mn2=min(mn2,sam-d[i]-s[i]-mx-m);
while(l<=r&&d[qq[l]]-s[qq[l]]+d[i]+s[i]>sam){
Mx=max(Mx,d[qq[l]]+s[qq[l]]);
++l;
}
mx1=max(mx1,-sam+d[i]+s[i]+Mx+m);
mx2=max(mx2,-sam+d[i]-s[i]+Mx+m);
}
mx=max(mx,d[i]-s[i]);
while(r>=l&&d[i]-s[i]-d[qq[r]]+s[qq[r]]>=0)--r;
qq[++r]=i;
}
if(mx1>mn1||mx2>mn2)return 0;
for(ll i=1;i<=n;++i){//寻找 a b
while(l1>1&&s[l1-1]+s[i]>=mx1)--l1;
while(r1>=l1&&s[r1]+s[i]>mn1)--r1;
while(r2<n&&s[r2+1]-s[i]<=-mx2)++r2;
while(l2<=r2&&s[l2]-s[i]<-mn2)++l2;
if(l1>r1||l2>r2)continue;
if(!(l2>r1||l1>r2))return 1;
}
return 0;
}
int main(){
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(ll i=2;i<=n;++i)scanf("%lld",&s[i]);
for(ll i=1;i<=n;++i)s[i]+=s[i-1];
for(ll i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",&d[i]);
L=0,R=(n+1)*(1e9);
while(L<=R){
mid=(L+R)>>1;
if(check(mid))ans=mid,R=mid-1;
else L=mid+1;
}
cout<<ans;
}
