最小生成树（克鲁斯卡尔算法）

“本模块关联知识点：并查集”

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首先先引入带权无向图的概念：所谓的带权无向图，就是无向图的边都有权值。

最小生成树即保证每个节点在联通并且没有回路的状态下边的权值之和最小

最小生成树有两种解决方法：1、prime算法；2、kruskal算法；本篇讲解kruskal算法

kruskal算法相较于prime算法更暴力，核心思想是利用快排不断取最小权值的边并通过并查集维护防止产生回路（见下图）

图中最终可得出最小生成树的权值为2+1+1+3=7

代码实现（以洛谷P3366为例）

题目描述

如题，给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出orz

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，表示该图共有N个结点和M条无向边。（N<=5000，M<=200000）

接下来M行每行包含三个整数Xi、Yi、Zi，表示有一条长度为Zi的无向边连接结点Xi、Yi

输出格式：

输出包含一个数，即最小生成树的各边的长度之和；如果该图不连通则输出orz

输入输出样例

输入样例

4 5
1 2 2
1 3 2
1 4 3
2 3 4
3 4 3

输出样例

7

本题与上图例题相似，orz输出的判定根据树的节点之间边的数量为节点数-1，这里直接写出实现代码。

#include<iostream>
#include<algorithm> 
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;

struct edge
{
	int from,to;
	long long val;
} e[200005];
int pa[5005];

bool cmp(edge a,edge b)
{
	return a.val < b.val;
}

int find_root(int x)
{
	if(pa[x] == x)
		return x;
	return x=find_root(pa[x]);
}

bool vertices_union(int x,int y)
{
	int x_root=find_root(x);
	int y_root=find_root(y);
	if(x_root != y_root)
	{
		pa[x_root]=y_root;
		return true;
	}
	else
		return false;
}

int main()
{
	int n,m;
	long long ans=0;
	cin >> n >> m;
	for(int i=0; i <= n; i++)
		pa[i]=i;
	for(int i=1; i <= m; i++)
		scanf("%d%d%lld",&e[i].from,&e[i].to,&e[i].val);
	sort(e+1,e+m+1,cmp);
	int cont=0;
	for(int i=1; i <= m; i++)
	{
		if(vertices_union(e[i].from,e[i].to))
		{
			ans+=e[i].val;
			cont++;
		}
		if(cont == n-1)
			break;
	}
	if(cont < n-1)
		cout << "orz" << endl;
	else
		cout << ans << endl;
	return 0;
}