（基本数论）素数筛选与判断
1、朴素判断素数
这种方法就是将给出的数判断能否找到处1以及它本身以外的因数。
代码样例
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool f(int n){
for(int i=2; i*i <= n; i++){
if(n%i == 0)
return 0;
}
return 1;
}
int main(){
int n;
cin >> n;
if(f(n))
cout << "Yes" << endl;
else
cout << "No" << endl;
}
2、埃氏筛法
埃氏筛法就是从2开始筛掉2的倍数（必须从2倍开始）往下依次进行。
代码样例
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int 1E6;
bool book[maxn};
void Is_not_prime(int n){
memset(book,false,sizeof(book));
book[0]=true;
book[1]=true;
for(int i=2; i <= n; i++){
if(!book[i]){
for(int j=i+i; j <= n; j+=i)
book[j]=true;
}
}
}
int main(){
int n,m;
cin >> n >> m;
Is_not_prime(n);
for(int i=1; i<= m; i++){
int x;
cin >> x;
if(!book[x]);
cout << "Yes" << endl;
else
cout << "No" << endl;
}
return 0;
}
3、欧拉筛法
欧拉筛法其实是对埃氏筛法的优化，在埃氏筛法中有多于3个因数的合数会被重复筛一次这样增加了不必要的操作。欧拉筛则可以弥补这一不足之处（见下图）
代码样例
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e7+10;
bool book[maxn];
int prime[maxn];
int cnt;
void Init(int n){
cnt = 0;
memset(book,0,sizeof(book));
book[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++){
if(book[i]==0){
prime[cnt++] = i;
}
for(int j = 0; j < cnt && prime[j]*i <= n; j++){
book[i*prime[j]] = 1;
if(i%prime[j] == 0)
break;
}
}
}
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
Init(n);
for(int i = 0;i < m; i++){
int x;
cin>>x;
if(book[x]==0)
cout<<"Yes"<<endl;
else
cout<<"No"<<endl;
}
return 0;
}
4、Miller_Rabin判素数
（这里目前未搞懂）
算法过程
1：先判断n是不是小于2，是的话就返回0。
2：再判断n是不是等于2，是的话就返回1。
3：再判断n是不是偶数及(n&1)==0,是的话返回0。
4：令p-1 = 2^t*u,此时p是奇数，u是奇数。
5：随机取一个a，a∈(1,n) a = rand()%n-1 + 1;。
6: 因为n-1 = u * 2t，所以a(n-1)=a^(u * 2t)=(au)(2t),令 x = (a^u)%n
7: 然后是t次循环，每次循环都让y = (x * x)%n，x=y,这样t次循环之后x=a^(u * 2t)=a(n-1)了。
8: 因为循环的时候y=(x * x)%n，且x肯定是小于n的，正好可以用二次探测定理。
9: 如果(x^2)%n1，也就是y等于1的时候，假如n是素数，那么x1||x==n-1，如果x!=1&&x!=n-1，那么n肯定不是素数了，返回false。
10: 运行到这里的时候x=a^(n-1)，根据费马小定理，x!=1的话，肯定不是素数，返回false。
11: 因为Miller-Rabin得到的结果的正确率为 75%，所以要多次循环步骤4~8来提高正确率。
12: 循环多次之后还没返回，那么n肯定是素数，返回true。
- 费马小定理定义：设P是一个素数，a是一个正整数，且GCD(a,p)==1,则\[{a^{p - 1}} \equiv 1\left( {modp} \right) \]注意：逆定理不成立!
代码样例
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll unsigned long long
ll mod_exp(ll a,ll b,ll n){
ll res = 0;
while(b){
if(b&1)
res = (res + a)%n;
a = (a+a)%n;
b>>=1;
}
return res;
}
ll mod_pow(ll a,ll b,ll n){
ll res = 1;
while(b){
if(b&1)
res = mod_exp(res,a,n);
a = mod_exp(a,a,n);
b>>=1;
}
return res;
}
bool miller_rabin(ll n){
if(n==2)
return true;
if(n<=1||!(n&1))
return false;
ll i,j,t,u;
t = 0;
u = n-1;
while(u&1==0) // n-1 化成 u*2^t u为奇数；
{
t++;
u>>1;
}
for(i = 0;i < 10; i++){
ll a = rand()%(n-1)+1;
ll x = mod_pow(a,u,n);
for(j = 0;j < t; j++){
ll y = mod_exp(x,x,n);
if(y==1&& x!=1 && x!=n-1)
return false;
x = y;
}
if(x!=1)
return false;
}
return true;
}
int main(){
ll i,j,t,n;
scanf("%llu",&t);
while(t--){
scanf("%llu",&n);
for(i = 1;i < n;i++){
if(miller_rabin(i)&&miller_rabin(n-i)){
printf("%llu %llu\n",i,n-i);
break;
}
}
}
return 0;
}
5、简单区间筛选素数
代码样例
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6+10;
bool book[maxn];
int a[maxn];
void Init(int n){
memset(book,0,sizeof(book));
book[1] = 1;
a[1] = 0;
for(int i = 2; i <= n; i++){
if(book[i]==0){
a[i] = a[i-1]+1;
for(int j = i+i; j <= n; j+=i){
book[j] = 1;
}
}
else
a[i] = a[i-1];
}
}
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
Init(m);
for(int i = 0; i < n; i++){
int l,r;
cin>>l>>r;
if(r>m||l<1)
cout<<"Crossing the line"<<endl;
else{
cout<<a[r]-a[l-1]<<endl;
}
}
return 0;
}
6、增强版区间筛选素数
代码样例
/*
注意，j=max(2ll,(l+i-1)/i)*i的意思：
(l+i-1)/i表示大于等于l的i的倍数的最小值。
2则是普遍的i的倍数的最小值，一定不能小于2。
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6+10;
bool vis[maxn];
bool book[maxn];
typedef long long ll;
int main(void){
ll l,r;
cin>>l>>r;
for(ll i = 2;i*i <= r;i++){
if(vis[i]==0){
for(ll j = i; j*j <= r;j += i)
vis[j]=1;
for(ll j=max(2ll,(l+i-1)/i)*i;j <= r;j += i) //(a+i-1)/i 得到最接近a的i的倍数，最低是i的2倍，然后筛选
book[j-l]=1;
}
}
int ans = 0;
for(int i = 0;i <= r-l;i++)
if(book[i]==0)
ans++;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
