傅里叶变换

傅里叶变换

直接先上结论：傅里叶变换是这样一个函数，它在\lambda处的函数值\widehat{f}(\lambda)表示函数f(x)在\lambda对应的基上的系数。至此我们就完成了傅里叶变换从空间角度的介绍。（这里的 ）

以及从知乎上看到最易懂的推导：

傅里叶变换, 就是在用一种特殊的正交基(正交函数)在对原函数做线性变换. 
简单地说, 我们有一个n维向量a, 我们总可以找到一组n维正交基e1 e2 e3......, 使得
a = c1 e1 + c2 e2 + c3 e3 + ........................cn en
我们如果想知道这些系数分别是多少, 就可以分别在等式两边用每个正交基做内积, 因为我们知道
<ei, ej> = 0 if i!=j,
<ei, ej> = 1 if i==j

函数 可以看成一个无穷维的向量, 所以如果想要把一个函数用"正交基"来线性表示, 
我们就需要使用正交的函数, 像这样的正交函数有很多, 傅里叶所选用的, 是其中一种
\exp\left( 2\pi ik\theta \right)

所以此时的问题就变成了: 假如我想把一个函数表达成利用无穷多个像上式那样的东西的和
我所分配的系数分别该是多少呢?

也就是说, 求 a_{k} \left( k \right)  使得:
f\left( x \right) = \intop_{-\infty}^{\infty}a_{k}\left( k \right) \exp\left( 2\pi ik x \right) dk
那么我们如何求得a_{k} 呢? 同样是利用正交属性去做内积, 我们知道, 对于任何一个给定的k, 有

\intop_{-\infty}^{\infty}\exp\left( -2\pi ik'x \right) \exp\left( 2\pi ik x \right) dx = \delta\left( k-k' \right)

所以我们将等式两边同乘 \exp\left( -2\pi ik'x \right), 并在对负无穷到无穷大做积分, 我们有:
\intop_{-\infty}^{\infty}f\left( x \right) \exp\left( -2\pi ik'x \right)dx=\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}a_{k}\left( k \right) \exp\left( 2\pi ik x \right) dk \exp\left( -2\pi ik' x \right)dx

此时, 交换积分次序并积分我们有
\intop_{-\infty}^{\infty}f\left( x \right) \exp\left( -2\pi ik'x \right)dx=\intop_{-\infty}^{\infty}a_{k}\left( k \right) \intop_{-\infty}^{\infty}\exp\left( 2\pi ik x \right) \exp\left( -2\pi ik' x \right)dx dk
=\intop_{-\infty}^{\infty} a_k\left( k \right) \delta\left( k-k' \right) dk = a_k\left( k' \right)
也就是说
a_k\left( k' \right) = \intop_{-\infty}^{\infty}f\left( x \right) \exp\left( -2\pi ik'x \right)dx
就是我们所要求的傅里叶变换的系数.

链接：https://www.zhihu.com/question/19714540/answer/30157704

posted on 2018-03-11 19:19  caffeauto  阅读(681)  评论(0)  编辑  收藏  举报

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