Binary Vector

B. Binary Vector

\(f_n\)的意思是随机生成 n 个 n 维向量，这 n 个向量线性无关的概率。

线性无关指的是向量之间不能相互表示，既不存在解（至少要有一个 k 非0）使得\(k_1\vec{a_1}+...+k_n\vec{a_n}=0\)这个式子成立。

依次选取n个向量：
第一个向量非零即可，有\(2^n-2^0\)种
第二个要求非零且不能被第一个所表示，有\(2^n-2^1\)种
第三个要求非零且不能被第一个和第二个表示，有\(2^n-2^2\)种
……
第n个要求非零且不能被上面的向量表示，有\(2^n-2^{n-1}\)种

得到通项公式为\(f_N=\frac{\prod_{i=0}^{N-1}(2^N-2^i)}{2^{N^2}}\)

但是N太大了，所以求出递推公式\(f_N=\frac{2^N-1}{2^N}f_{N-1}\)

// Created by CAD
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn=2e7+1;
const int mod=1e9+7;
ll f[maxn];
int qpow(int x,int n){
    ll ans=1;
    while(n>0){
        if(n&1) ans=ans*x%mod;
        n>>=1,x=1ll*x*x%mod;
    }
    return ans;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    ll _2=qpow(2,mod-2);
    ll up=2,_down=_2;
    f[1]=_2;
    for(int i=2;i<=maxn-1;++i){
        up=up*2%mod;
        _down=_down*_2%mod;
        f[i]=(up-1)*_down%mod*f[i-1]%mod;
    }
    for(int i=2;i<=maxn-1;++i)
        f[i]=f[i]^f[i-1];
    int t;cin>>t;
    while(t--){
        int n;cin>>n;
        cout<<f[n]<<endl;
    }
    return 0;
}