线性同余方程

线性同余方程

参考：线性同余方程

同余方程\(ax\equiv b(mod　c)\)

定理1：

方程\(ax+by=c\)与方程\(ax\equiv c(mod　b)\)是等价的，有整数解的充要条件为\(gcd(a,b)|c\)。

根据定理1，我们可以先利用扩展欧几里得算法求出\(ax+by=gcd(a,b)\)的一组解\(x_0\)和\(y_0\)，然后我们可以将该方程左右同乘一个\(c/gcd(a,b)\)，那么就得到了原方程的一组解\(x_0c/gcd(a,b)\)和\(y_0c/gcd(a,b)\)

定理2：

若\(gcd(a,b)=1\)，且\(x_0\)，\(y_0\)为方程\(ax+by=c\)的一组解，则该方程的任意解可表示为：\(x=x_0+bt\)，\(y=y_0-at\)，且对任意整数\(t\)都成立。

最小整数解：\(t=b/gcd(a,b),x=(x　mod　t+t)mod 　t\)