逆序数介绍以及算法实现浅析
前言
线性代数中对于一段数字序列的排列情况有这样一个定义：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。也就是说，对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个 不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。(摘自 百度百科)
对于逆序数通俗的理解：对于序列中每个位置的的数，其之前比他的值大的个数之和，或者在其之后比他的值小的个数之和，如此称为逆序数。
实现
实现手段：线段树、树状数组、离散化、归并排序、枚举
- 我们容易根据逆序数的理解写出O(n^2)的模拟算法，是一个普通冒泡排序类似物：
int ans = 0; //逆序数个数
int num[maxn];
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = n - i; j > 0; j--) {
if (num[j + 1] < num[j]) {
swap(num[j + 1], num[j]);
ans++;
}
}
}
- 如果当一段数字集中在某个范围中，还可以利用hash的特性，复杂度O(n*num(max))，但这个仍然是个暴力算法:
#include <iostream>
using namespace std;
int a[100005];//存储有多少比它大的数字在它之前
int main()
{
int n, m, i, j, k;
cin >> n;
long long int sum = 0;
for (i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%d", &m);
sum = sum + a[m];// 有多少比它大的数字在他之前，就要加上多少组
for (j = 0; j<m; j++)//在它之前的数字都+1
{
a[j]++;
}
}
cout << sum << endl;
}
- 上面那步的思想其实就是每次将数字压入数据集时，查询比当前数字排名来得大得数字数量，这个数字就是当前下标数字得逆序数。但是这个写法不足地方有两点：1，数据分散时空间复杂度高；2，每次都要执行一个O(num)大小的前缀操作。我们这是就可以利用线段树，树状数组的树形结构将前缀操作以及查询操作都均摊到O(logn)级别，从而提高效率。
细节
关于sum的含义是求得1~idx下标得前缀和，在这里根据方法2得思路就是rank <= idx的前缀数量，这里就要利用到一点容斥的思想：我们的目标是考虑当前有多少个比当前数排名大的数，当前全集为i,rank <= idx的数量为sum(idx)，则当前 rank > idx 的数量为i-sum(idx)。其实c维护的就是rank的数量。举例：{7,4,3,8,6}
观察C数组的变化
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int n,c[100010];
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void add(int k,int num)
{
while(k<=n)
{
c[k]+=num;
k+=lowbit(k);
}
}
int query(int k)
{
int sum=0;
while(k)
{
sum+=c[k];
k-=lowbit(k);
}
return sum;
}
typedef struct nodee
{
int x,i;
}node;
node maze[100010];
bool cmp(node u,node v)
{
if(u.x==v.x)
return u.i>v.i;
return u.x<v.x;
}
int b[100010];
int main(void)
{
int i,j,x,y;
while(~scanf("%d",&n))
{
ll sum = 0;
memset(c,0,sizeof(c));
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&maze[i].x);
maze[i].i = i;
}
sort(maze+1,maze+1+n,cmp);
int cnt = 1;
for(i=1;i<=n;i++){
if(i!=1&&maze[i].x!=maze[i-1].x)
cnt++;
b[maze[i].i] = cnt;
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
add(b[i],1);
ll tmp = (i-query(b[i]));
sum += tmp;
cout << "\n逆序数 = " << tmp << " 排名 = " << b[i] << '\n';
cout << "C数组：\n";
for (int j = 1; j <= n; j++) {
cout << c[j] << " ";
}
}
printf("\n\n排列的逆序数为 = %lld\n",sum);
}
return 0;
}
- 对于逆序数还有归并排序的求法，注意归并排序是稳定的排序算法，写法有细节要注意。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = (int)1e5+5;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef long double ldb;
int val[maxn],tmp[maxn];
ll cnt;
void Merge (int l, int m, int r) {
int i = l;
int j = m + 1;
int k = l;
//归并排序为稳定排序，稳定的关键是mid后面那部分只有在小于前面的时候才往前提，相等不提!!!
while (i <= m && j <= r) {
if (val[i] > val[j]) {
cnt += j-k; // 每当后段的数组元素提前时，记录提前的距离
tmp[k++] = val[j++];
}else {
tmp[k++] = val[i++];
}
}
while (i <= m) {
tmp[k++] = val[i++];
}
while (j <= r) {
tmp[k++] = val[j++];
}
for (int i = l; i <= r; i++) {
val[i] = tmp[i];
}
}
void MergeSort(int l, int r) {
if (l < r) {
int mid = l + ((r - l) >> 1);
MergeSort(l, mid);
MergeSort(mid + 1, r);
Merge(l, mid, r);
}
return ;
}
int main() {
int n;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> val[i];
}
cnt = 0;
MergeSort(1, n);
cout << cnt << '\n';
return 0;
}
