Codeforces Round #787 (Div. 3) G. Sorting Pancakes

Sorting Pancakes

题面翻译#

题意简述#

有 $n$ 个箱子和 $m$ 个小球，初始时第 $i$ 个箱子有 $a_i$ 个小球。每次操作可以将一个小球移到相邻的箱子里。求要使得最终数组 $a_i\ge a_{i+1}$ 的最小操作次数。

输入格式#

第一行两个正整数 $n,m$。

第二行 $n$ 个非负整数 $a_i$。数据保证 $\sum a_i=m$。

输出格式#

输出一行一个非负整数，表示答案。

数据规模#

$1\le n,m\le 250$

样例 #1#

样例输入 #1#

6 19
5 3 2 3 3 3

样例输出 #1#

2

样例 #2#

样例输入 #2#

3 6
3 2 1

样例输出 #2#

0

样例 #3#

样例输入 #3#

3 6
2 1 3

样例输出 #3#

1

样例 #4#

样例输入 #4#

6 19
3 4 3 3 5 1

样例输出 #4#

3

样例 #5#

样例输入 #5#

10 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

样例输出 #5#

9

提示#

In the first example, you first need to move the pancake from the dish $1$ , after which $a = [4, 4, 2, 3, 3, 3]$ . After that, you need to move the pancake from the dish $2$ to the dish $3$ and the array will become non-growing $a = [4, 3, 3, 3, 3, 3]$ .

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思路#

注意到数据范围都很小，可以使用 $O(n^3)$ 复杂度的算法通过本题。
首先我们将整个数组翻转过来，考虑将数组变成一个单调不减的数组。
考虑 $DP$ ，令 f[i][j][k] 表示前 $i$ 个箱子，一共使用了 $j$ 个小球，且第 $i$ 个箱子放了 $j$ 个小球的最小移动次数，f[i][j][k] 可以转移到 f[i][j + p][p](p >= k)，从f[i][j][k] 转移到 f[i][j + p][p]所需要的代价就是 abs(s[i] - j - k)，但是这么转移是 $O(n^4)$ 。 考虑优化，由于f[i][j + p][p](p >= k) $p \ge k$，因此我们可以在转移的时候维护一个 $\min(f_{i-1,j,k})(k \le p)$ ，复杂度优化为 $O(n^3)$ 。

CODE#

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

constexpr int N = 252;

int a[N], s[N], f[N][N][N];
template < typename T > 
inline void chkmax(T &x, T y) {x = x >= y ? x : y;}
template < typename T > 
inline void chkmin(T &x, T y) {x = x <= y ? x : y;}
int main() {
  int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
  //f[i][j][k], 第i个箱子有j个球，并且前i个箱子有k个
  for (int i = n; i >= 1; i -- ) scanf("%d", a + i);
  for (int i = 1; i <= n; i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i];

  memset(f, 0x3f, sizeof f);
  f[0][0][0] = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
    for (int j = 0; j <= m; j ++ ) {
      int mi = 1 << 30;
      for (int k = 0; j + k <= m; k ++ ) {
        chkmin(mi, f[i - 1][j][k]);
        chkmin(f[i][j + k][k], mi + abs(s[i] - j - k));
      }
    }
  }
  printf("%d\n", *min_element(f[n][m], f[n][m] + m + 1));
  return 0;
}