LightOJ 1248 Dice (III)

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题意#

有一个 $n$ 面的骰子，每次投掷每个面都是等概率出现，求所有面都出现的期望投掷次数。

思路#

我们进行一个状态定义：$f[i]$ 表示已经出现了 $i$ 个不同的面的期望，那么我们考虑 $f[i]$ 可以由谁转移过来？
显然我们每次投掷最多只会出现一个面，这个面有两种情况，第一种为出现过的，第二种为没出现过的
那么 $f[i]$ 有 $\frac{i}{n}$ 的概率由出现过的面转移而来， 有 $\frac{n-i}{n}$ 的概率从未出现的面转移过来，并且无论从哪里来，期望次数都会比原来多 $1$
即$f[i] = \frac{i}{n} \times f[i] + \frac{n-i}{n} \times f[i-1] + 1$ 移项可得 $f[i] = f[i-1] + \frac{n}{n-i}$

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Author:  Nanfeng1997
Contest: LightOJ
URL:     https://lightoj.com/problem/dice-iii
When:    2022-03-22 14:46:47

Memory:  64MB
Time:    1000ms
********************/
#include  <bits/stdc++.h>
#define _ 0
using namespace std;
using LL = long long;
double dp[100010];
void solve(int T) {
  int n; cin >> n;
  dp[1] = 1; 
  for(int i = 2; i <= n; i ++ ) {
    dp[i] = dp[i - 1] + 1.0 * n / (i - 1);
  }
  printf("Case %d: %.10f\n", T, dp[n]);
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(nullptr);

  int T = 1, r = 0; cin >> T;
  while(T --) solve(++ r);

  return ~~(0 ^ _ ^ 0);
}