运筹学-学习笔记

运筹学

引论

什么是运筹学？

1. 目的：寻找问题的最优解(一般)
2. 来源：军事
3. 我们干什么：应用视角

核心思想: 求某个问题的最优解

高数基础

函数的最值与极值

最值考虑整体性，极值考虑局部性

\(f(x), x \in [a,b]\) $f_{max} \ f_{min} $

极值：设\(f(x)\)在\(x_0\)的邻域内有定义，若$\exists \delta > 0, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $ 有\(f(x) \le f(x_0) \ \ \ (f(x) \ge f(x_0))\) ，称\(f(x_0)\) 是 \(f(x)\) 极大(小)值，\(x_0\) 是 \(f(x)\) 的极大(小)值点

在边界处是没有极值的定义的，因为可能邻域不完整，不满足极值的定义。极值不关心是否连续，只要附近有定义即可。

极值和最值没有直接的联系。

费马定理

\(f(x_0)\)取极值且\(f(x)\) 在 \(x = x_0\) 的时候可导 可以说明 \(f'(x_0) = 0\)

注意不能逆推

利用 \(Fermat\) 定理求极值、最值

找出所有的极值点 和 端点 即可(应用于正常"的函数)

极值点 \(f'(x) = 0\) ， 区间端点

多元函数的极值与最值

\(w = f(x,y,z) = 3x^2 + 2y^2 - 4z^2\) \(\begin{cases} 3x + 4y - z = 0\\ 6x^2 + y - z^2 = 0 \end{cases}\)

求 $ f(x,y,z) = 3x^2 + 2y^2 - 4z^2$ 的 \(\max \ or \ \min\)

$g1 = 3x + 4y - z = 0, \ \ \ \ g2 = 6x^2 + y - z^2 = 0 $

1. 几个约束条件，就引入几个 \(lagrange\) 因子 $ \lambda_i $

2. 构造一个新函数 \(F(x, y, z, \lambda_i ) = f(x,y,z) + \lambda_1 g_1 + \lambda_2 g2 + ... + \lambda_n g_n\)

   \[F(x, y, z, \lambda_i ) = f(x,y,z) + \lambda_1 g_1 + \lambda_2 g2 \\ =3x^2 + 2y^2 - 4z^2 + \lambda_1(3x+4y-z) + \lambda_2(6x^2 + y - z^2) \]

3. 有几个自变量就求几次偏导数

\(\begin{cases} \frac{\partial F}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial F}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial F}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial F}{\partial \lambda_1} = 0 \\ \frac{\partial F}{\partial \lambda_2} = 0 \end{cases}\) 求出几组解，带入原方程比较大小即可

\(\begin{cases} \frac{\partial F}{\partial x} = 6x + 3 \lambda_1 + 12 \lambda_2x = ... \\ \frac{\partial F}{\partial y} = ... \\ \frac{\partial F}{\partial z} = ... \\ \frac{\partial F}{\partial \lambda_1} = ... \\ \frac{\partial F}{\partial \lambda_2} = ... \end{cases}\)

例题

在抛物面 \(z = (x + 2)^2 + \frac{1}{4}y^2\)上求到点\((3,0,-1)\)的最近距离

点\((x_1,y_1,z_1)\)到点\((x_2,y2,z_2)\) 的距离为 \(d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2 }\)

\(d = \sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2 + (z+1)^2} = f(x,y,z)\) (目标函数)

\(g_1: z = (x+2)^2 + \frac{1}{4}y^2\) 考虑使用 \(lagrange\) 乘数法 \(g_1: (x+2)^2 + \frac{1}{4}y^2 - z = 0\)

1. 引入一个 \(\lambda_1\)

2. \(F(x,y,z,\lambda_1) = f(x,y,z) + \lambda_1 g_1\) 即 $F(x,y,z,\lambda_1) = \sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2 + (z+1)^2} + \lambda_1 \left [ (x+2)^2 + \frac{1}{4}y^2 - z\right ] $

3. 求偏导 (发现并不好求)

4. 转化一下，距离的最小值即距离的平方的最小值再开根号

5. $F'(x,y,z,\lambda_1) = \sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2 + (z+1)^2} + \lambda_1 \left [ (x+2)^2 + \frac{1}{4}y^2 - z\right ] $

6. \(\begin {cases} \frac{\partial F'}{\partial x} = 2(x-3) + 2\lambda_1(x + 2) = 0 \\ \frac{\partial F'}{\partial y} = 2y + \frac{\lambda_1}{2}y = 0 \\ \frac{\partial F'}{\partial z} = 2(z+1) - \lambda_1 = 0 \\ \frac{\partial F'}{\partial \lambda_1 } = (x+2)^2 + \frac{1}{4}y^2 - z = 0 \\ \end{cases}\) \(\begin{cases} x = -1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \lambda = 4 \end {cases}\) \(\lambda = -1\)的时候无解，舍弃了

7. \(f_{min} = f(-1,0,1) = ...\)