Catalan数应用整理

应用一：

codevs 3112 二叉树计数

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 题目等级 : 黄金 Gold

 

题目描述 Description

一个有n个结点的二叉树总共有多少种形态

输入描述 Input Description

读入一个正整数n

输出描述 Output Description

输出一个正整数表示答案

样例输入 Sample Input

6

样例输出 Sample Output

132

数据范围及提示 Data Size & Hint

1<=n<=20

#define N 25
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
long long f[N];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    f[0]=1;f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
      for(int k=0;k<i;++k)
      f[i]+=f[k]*f[i-1-k];
    printf("%d\n",f[n]);
    return 0;
}

下面解释：为什么n个节点的二叉树的形态数目是Catalan数？

/*
先考虑只有一个节点的情形，设此时的形态有f(1)种，那么很明显f(1)=1

如果有两个节点呢？我们很自然想到，应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么，如果固定一个节点后，有两种情况，一是左子树还剩一个节点，此刻类型数量为f(1)，第二种情况是右子树生一个节点，此刻类型数量为f(1)，固有f(2) = f(1) + f(1)

如果有三个节点呢？我们需要考虑固定两个节点的情况么？当然不行，为什么？

因为当节点数量大于等于2时，无论你如何固定，其形态必然有多种，而在这多种基础之上你如何安排后续剩下的节点呢？所以必须挑出这个误区。

回到二叉树的定义，二叉树本质上就是一个递归的形式，左子树，右子树，根节点。所以根节点应该不变，需要递归处理的是左右子树。

也就是说，还是考虑固定一个节点，即根节点。好的，按照这个思路，还剩2个节点，那么左右子树的分布情况为2=0+2=1+1=2+0。

所以有3个节点时，递归形式为f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2). (注意这里的乘法，因为左右子树一起组成整棵树，根据排列组合里面的乘法原理即可得出)

那么有n个节点呢？我们固定一个节点，那么左右子树的分布情况为n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = ... = 1 + n-2 = 0 + n-1

OK。递归表达式出来了f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1)

 

观察一下这个表达式，嗯，和我们之前见过的递归表达有一点区别，递推层级为n的时候，更多的是考虑前一步(n-1)，或者前两步(n-1)和(n-2)。

但是这里却考虑到所有的情况，即1到n-1。

最后说明一下，这个表达式有一个学名，叫做Catalan数。上面我们没有定义f(0)。如果把f(0)也考虑进去，显然没有节点也只有一种情况，即f(0)=1

标准表达式为f(n) = f(n-1)f(0) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1)f(0)

前几个数为1,1,2,5,14,42,132。
*/

应用二：

codevs 3134 Circle 

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 题目等级 : 黄金 Gold

题解

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题目描述 Description

在一个圆上，有2*K个不同的结点，我们以这些点为端点，连K条线段，使得每个结点都恰好用一次。在满足这些线段将圆分成最少部分的前提下，请计算有多少种连线的方法

输入描述 Input Description

仅一行，一个整数K(1<=K<=30)

输出描述 Output Description

两个用空格隔开的数，后者为最少将圆分成几块，前者为在此前提下连线的方案数

样例输入 Sample Input

2

样例输出 Sample Output

2 3

数据范围及提示 Data Size & Hint

#include<cstdio>
int n;
long long f;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    f=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    f=f*(4*i-2)/(i+1);
    printf("%lld %d",f,n+1);
/*最少的划分部分是n条线段都不相交*/
    return 0;
}