【经典问题】1亿个数据取前1万大的整数

数据规模分析

 

不考虑操作系统的区别，通常将C++中的一个整型变量认为4bytes。那么1亿整型需要400M左右的内存空间。当然，就现代PC机而言，连续开辟400M的内存空间还是可行的。因此，下面的讨论只考虑在内存中的情况。为了讨论方便，假设M=1亿，N=1万。

 

 

用大拇指想想

略微考虑一下，使用选择排序。循环1万次，每次选择最大的元素。源代码如下：

//解决方案1，简单选择排序
//BigArr[]存放1亿的总数据、ResArr[]存放1万的总数据
void solution_1(int BigArr[], int ResArr[] ){
       for( int i = 0; i < RES_ARR_SIZE; ++i ){
              int idx = i;
              //选择最大的元素
              for( int j = i+1; j < BIG_ARR_SIZE; ++j ){
                     if( BigArr[j] > BigArr[idx] )
                            idx = j;
              }
              //将最大元素交换到开始位置
              ResArr[i] = BigArr[idx];
              std::swap( BigArr[idx], BigArr[i] );
       }
}

性能分析： 哇靠！时间复杂度为O(M*N)。 有人做过实验《从一道笔试题谈算法优化（上） 》，需要40分钟以上的运行时间。太悲剧了......

 

当然，用先进的排序方法(比如快排)，时间复杂度为O(M*logM)。虽然有很大的改进了，据说使用C++的STL中的快排方法只需要32秒左右。确实已经达到指数级的优化了，但是否还能够优化呢？

 

 

 

 

稍微动下脑子

 

 

我们只需要1万个最大的数，并不需要所有的数都有序，也就是说只要保证的9999万个数比这1万个数都小就OK了。我们可以通过下面的方法来该进：

 

(1) 先找出M数据中的前N个数。确定这N个数中的最小的数MinElement。

(2) 将  (N+1) —— M个数循环与MinElement比较，如果比MinElement还小，则不处理。如果比MinElement大，则与MinElement交换，然后重新找出N个数中的MinElement。

//解决方案2
void solution_2( T BigArr[], T ResArr[] ){
       //取最前面的一万个
       memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );
       //标记是否发生过交换
       bool bExchanged = true;
       //遍历后续的元素
       for( int i = RES_ARR_SIZE; i < BIG_ARR_SIZE; ++i ){
              int idx;
              //如果上一轮发生过交换
              if( bExchanged ){
                     //找出ResArr中最小的元素
                     int j;
                     for( idx = 0, j = 1; j < RES_ARR_SIZE; ++j ){
                            if( ResArr[idx] > ResArr[j] )
                                   idx = j;
                     }
              }
              //这个后续元素比ResArr中最小的元素大，则替换。
              if( BigArr[i] > ResArr[idx] ){
                     bExchanged = true;
                     ResArr[idx] = BigArr[i];
              }else
                     bExchanged = false;
       }
}

 

性能分析： 最坏的时间复杂度为O((M-N)*N)。咋一看好像比快排的时间复杂度还高。但是注意是最坏的，实际上，并不是每次都需要付出一个最小值O(N)的代价的。因为，如果当前的BigArr[i]<ResArr[idx]的话，就不需要任何操作，则1——N的最小值也就没有变化了。下一次也就不需要付出O(N)的代价去寻找最小值了。当然， 如果M基本正序的话，则每次都要交换最小值，每次都要付出一个O(N)代价。最坏的情况比快排还要差。

 

就平均性能而言，改进的算法还是比快排要好的，其运行时间大约在2.0秒左右。

 

 

使劲动下脑子

上面的解决方案2还有一个地方不太好。当BigArr[i]>ResArr[idx]时，则必须交换这两个数，进而每次都需要重新计算一轮N个数的最小值。只改变了一个数就需要全部循环一次N实在是不划算。能不能下一次的最小值查找可以借助上一次的比较结果呢？

 

基于这样一个想法，我们考虑到了堆排序的优势(每一次调整堆都只需要比较logN的结点数量)。因此我们再做一次改进：

 

(1) 首先我们把前N个数建立成小顶堆，则根结点rootIdx。

(2) 当BigArr[i]>ResArr[rootIdx]时，则交换这两个数，并重新调整堆，使得根结点最小。

 

性能分析：显然，除了第一次建堆需要O(N)时间的复杂度外，每一次调整堆都只需要O(logN)的时间复杂度。因此最坏情况下的时间复杂度为O((M-N)*logN)，这样即使在最坏情况下也比快排的O(M*logM)要好的多了。

 

另外：实际上也可以使用二分查找的思想，第一次找N中的最小值的时候将N排序。以后每次替换最小值，都使用二分查找在logN代价下找到当前N的最小值即可。与使用堆的过程如出一辙。