洛谷P4199 万径人踪灭（manacher+FFT）

传送门

 

题目所求为所有的不连续回文子序列个数，可以转化为回文子序列数-回文子串数

回文子串manacher跑一跑就行了，考虑怎么求回文子序列数

我们考虑，如果$S_i$是回文子序列的对称中心，那么只要$S_{i-j}$和$S_{i+j}$相等，我们就多了一种选择

设共有$x$组相等的，那么以$S_i$为对称中心的回文子序列个数就是$2^{x+1}-1$，表示这$x$组包括对称中心选或不选，除去全都不选的都能算入答案

然而对称中心不一定在字符上可能在两个字符中间，那么这种时候回文子序列数就是$2^x-1$（因为没有中间的字符所以无所谓选不选）

然后考虑如何计算每一个位置上的$x$

我们考虑构造多项式$A$，原串上为$a$的位置设为$1$，$b$的位置设为$0$，如果$s[i]==s[j]$，那么他们的贡献会加到$(i+j)/2$上

然后发现这玩意儿和卷积很像，于是我们把除以二去掉，那么每一对$s[i]==s[j]$都会把贡献加到$i+j$上，所以只要把$A$自乘一下就可以了

然后构造$B$，原串上为$b$的位置设为$0$，也自乘一下就行了

然后把$A$和$B$对应系数加起来，再减去((i&1)^1)（表示这一位对称中心是否在字符上），再求一下$2$的多少次幂减一，最后减掉回文串个数就行了

//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define add(x,y) (x+y>=P?x+y-P:x+y)
using namespace std;
const int N=5e5+5,P=1e9+7;const double Pi=acos(-1.0);
struct complex{
    double x,y;
    complex(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
    inline complex operator +(complex b){return complex(x+b.x,y+b.y);}
    inline complex operator -(complex b){return complex(x-b.x,y-b.y);}
    inline complex operator *(complex b){return complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);}
}A[N],B[N];
int n,m,l,r[N],limit=1;
void FFT(complex *A,int type){
    for(int i=0;i<limit;++i)
    if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
    for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
        complex Wn(cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid));
        for(int R=mid<<1,j=0;j<limit;j+=R){
            complex w(1,0);
            for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn){
                complex x=A[j+k],y=w*A[j+k+mid];
                A[j+k]=x+y,A[j+k+mid]=x-y;
            }
        }
    }
}
ll s[N],ans[N],x[N],p[N],sum;char ss[N];
void manacher(){
    int mx=0,id;
    for(int i=1,l=(n<<1)+1;i<=l;++i){
        p[i]=i<mx?min(p[2*id-i],(ll)mx-i):1ll;
        while(x[i-p[i]]==x[i+p[i]]) ++p[i];
        if(mx<i+p[i]) mx=i+p[i],id=i;
    }
}
ll ksm(ll a,ll b){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=res*a%P;
        a=a*a%P,b>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
//    freopen("testdata.in","r",stdin);
    scanf("%s",ss+1);n=strlen(ss+1);
    for(int i=1;i<=n;++i) s[i]=ss[i]=='a';
    for(int i=1;i<=n;++i)
    x[(i<<1)-1]=2,x[i<<1]=s[i];
    x[0]=-1,x[(n+1)<<1]=-2,x[(n<<1)+1]=2;
    while(limit<=(n<<1)+1) limit<<=1,++l;
    for(int i=0;i<limit;++i)
    r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    for(int i=1;i<=n;++i) A[i].x=B[i].x=s[i];
    FFT(A,1),FFT(B,1);
    for(int i=0;i<limit;++i) A[i]=A[i]*B[i];
    FFT(A,-1);
    for(int i=1,l=(n<<1)+1;i<=l;++i) ans[i]+=((ll)(A[i].x/limit+0.5)-((i&1)^1));
    memset(A,0,sizeof(A)),memset(B,0,sizeof(B));
    for(int i=1;i<=n;++i) A[i].x=B[i].x=(s[i]^1);
    FFT(A,1),FFT(B,1);
    for(int i=0;i<limit;++i) A[i]=A[i]*B[i];
    FFT(A,-1);
    for(int i=1,l=(n<<1)+1;i<=l;++i) ans[i]+=((ll)(A[i].x/limit+0.5)-((i&1)^1));
    for(int i=1,l=(n<<1)+1;i<=l;++i) ans[i]=((ans[i]+((i&1)^1))>>1)+((i&1)^1);
    for(int i=1,l=(n<<1)+1;i<=l;++i) ans[i]=ksm(2,ans[i])-1;
    manacher();
    for(int i=1,l=(n<<1)+1;i<=l;++i) ans[i]-=(p[i]>>1);
    for(int i=1,l=(n<<1)+1;i<=l;++i) sum=add(sum,ans[i]);
    printf("%lld\n",sum);
    return 0;
}