洛谷[1007]梦美与线段树（线段树+概率期望）

传送门

 

我我我我我我我终于AAAAAAAA了！！！

我们来考虑概率期望原来的定义，是总收益除以总情况数

然后因为每一个节点的权值都是左右儿子权值之和，而走的概率也与权值有关

那么我们可以看做是从根节点出发走$sum[1]$次（$sum[1]$为根节点的权值），那么走到每一个节点的次数就是这一个节点的权值

那么总收益就是每一个节点被走到的次数乘上节点的权值，就是每一个节点权值的平方和。而总共走了$sum[1]$次

那么答案就是整棵子树的权值的平方和乘上$sum[1]$的逆元

问题来了，因为这是区间加和，我们得打懒标记，所以要$O(1)$在打懒标记时统计出子树里的权值平方和

只有对于需要被打懒标记的节点（也就是区间被完全包含的节点）我们需要统计答案，其他情况下直接pushup即可维护

我们考虑一下，设一个节点代表的区间长度为$l$，区间加和的值为$t$，原节点的值为$sum$，那么这个节点的权值将变为$sum+l*t$

那么平方和的增加量为$(sum+l*t)^2-sum^2=2*sum*l*t-l^2*t^2$

首先，$l^2$是很好维护的，只要记录一下子树里所有区间长度的平方和即可，这个是不变的，建树的时候就可以弄出来了

于是考虑怎么维护$sum*l$

对于每一个节点来说，区间加和之后，它的$sum$变成$sum+l*t$，那么$sum*l$变为$(sum+l*t)*l$

那么增加量就是$l^2*t$，而且$l^2$我们已经维护好了

所以每一次打完懒标记，我们都可以$O(1)$维护答案了！

然后最坑的一点是……辣鸡出题人最后一个点要用高精或__int128……然后导致无数个90分……调死掉……

ps:__int128编译器上过不了的，建议用洛谷IDE调，或者先写好调到90分再改成__int128

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define add(x,y) ((x)+(y))
#define dec(x,y) ((x)-(y)<0?(x)-(y)+P:(x)-(y))
#define mul(x,y) ((I)*(x)*(y))
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline ll read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;ll res;
    while(!isdigit(ch=getc()))
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
const int N=500005,P=998244353;const __int128 I=1;
inline ll ksm(ll a,ll b){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=mul(res,a)%P;
        a=mul(a,a)%P,b>>=1;
    }
    return res;
}
__int128 sum[N<<2],len[N<<2],len_2[N<<2],ans[N<<2],tag[N<<2],xl[N<<2],a[N],n,m;
//sz子树节点个数，sum节点，ans当前子树答案 ,s子树总和 
inline void upd(int p,int l,int r){
    sum[p]=add(sum[ls],sum[rs]),ans[p]=add(add(ans[ls],ans[rs]),mul(sum[p],sum[p]));
    xl[p]=add(add(xl[ls],xl[rs]),mul((r-l+1),sum[p]));
}
void pushdown(int p,int l,int r){
    if(tag[p]){
        int mid=(l+r)>>1;
        tag[ls]=add(tag[ls],tag[p]),tag[rs]=add(tag[rs],tag[p]);
        
        ans[ls]=add(ans[ls],mul(mul(xl[ls],2),tag[p]));
        ans[ls]=add(ans[ls],mul(mul(tag[p],tag[p]),len_2[ls]));
        
        ans[rs]=add(ans[rs],mul(mul(xl[rs],2),tag[p]));
        ans[rs]=add(ans[rs],mul(mul(tag[p],tag[p]),len_2[rs]));
        
        xl[ls]=add(xl[ls],mul(len_2[ls],tag[p]));
        xl[rs]=add(xl[rs],mul(len_2[rs],tag[p]));
        
        sum[ls]=add(sum[ls],mul(tag[p],(mid-l+1)));
        sum[rs]=add(sum[rs],mul(tag[p],(r-mid)));
        
        tag[p]=0;
    }
}
void build(int p,int l,int r){
    if(l==r){
        sum[p]=a[l],len[p]=1,len_2[p]=1,ans[p]=mul(sum[p],sum[p]),tag[p]=0,xl[p]=sum[p];
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
    len[p]=add(add(len[ls],len[rs]),(r-l+1));
    len_2[p]=add(add(len_2[ls],len_2[rs]),mul((r-l+1),(r-l+1)));
    upd(p,l,r);
}
void update(int p,int l,int r,int ql,int qr,ll val){
    if(ql<=l&&qr>=r){
        tag[p]=add(tag[p],val);
        
        ans[p]=add(ans[p],mul(mul(xl[p],2),val));
        ans[p]=add(ans[p],mul(len_2[p],mul(val,val)));
        
        xl[p]=add(xl[p],mul(len_2[p],val));
        
        sum[p]=add(sum[p],mul((r-l+1),val));
        
        return;
    }
    pushdown(p,l,r);
    int mid=(l+r)>>1;
    if(ql<=mid) update(ls,l,mid,ql,qr,val);
    if(qr>mid) update(rs,mid+1,r,ql,qr,val);
    upd(p,l,r);
}
ll calc(){
    __int128 x=ans[1],y=sum[1];
    while(y%P==0) y/=P,x/=P;
    x%=P,y%=P;
    return x*ksm(y,P-2)%P;
}
int main(){
//    freopen("testdata.in","r",stdin);
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    build(1,1,n);
    while(m--){
        int op=read();
        if(op==2) printf("%lld\n",calc());
        else{
            int l=read(),r=read();ll v=read();
            update(1,1,n,l,r,v);
        }
    }
    return 0;
}