洛谷P4721 【模板】分治 FFT（生成函数+多项式求逆）

传送门

 

我是用多项式求逆做的因为分治FFT看不懂……

upd:分治FFT的看这里

话说这个万恶的生成函数到底是什么东西……

我们令$F(x)=\sum_{i=0}^\infty f_ix^i,G(x)=\sum_{i=0}^\infty g_ix^i$，且$g_0=0$

这俩玩意儿似乎就是$f(x)$和$g(x)$的生成函数

那么就有$$F(x)G(x)=\sum_{i=0}^\infty x^i\sum_{j+k=i}f_jg_k$$

然后根据题目，有$$f_i=\sum_{j=1}^if_{i-j}g_j$$

然后因为$g_0=0$，所以

$$f_i=\sum_{j+k=i}f_jg_k$$

又因为该式子只有在$i=0$时不成立，于是代入并手算一下$i=0$的时候，可得$$F(x)G(x)=\sum_{i=0}^\infty f_ix^i-f_0x^0$$

又因为$f_0=x^0=1$，可得$$F(x)G(x)=F(x)-1$$

然后我们只要求它的前$n$项就可以了，所以取模$$F(x)G(x)\equiv F(x)-1\pmod{x^n}$$

然后移项$$F(x)\equiv\frac{1}{1-G(x)}\pmod{x^n}$$

$$F(x)\equiv(1-G(x))^{-1}\pmod{x^n}$$

然后去隔壁把多项式求逆的板子抄来就好了

//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define mul(x,y) (1ll*x*y%P)
#define add(x,y) (x+y>=P?x+y-P:x+y)
#define dec(x,y) (x-y<0?x-y+P:x-y)
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;int res;
    while(!isdigit(ch=getc()))
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
inline void print(int x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]=' ';
}
const int N=400005,P=998244353,G=3;
inline int ksm(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=mul(res,a);
        a=mul(a,a),b>>=1;
    }
    return res;
}
int n,r[N],g[N],f[N],A[N],B[N],O[N];
void NTT(int *A,int type,int len){
    int limit=1,l=0;
    while(limit<len) limit<<=1,++l;
    for(int i=0;i<limit;++i)
    r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    for(int i=0;i<limit;++i)
    if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
    for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
        int R=mid<<1,Wn=ksm(G,(P-1)/R);O[0]=1;
        for(int j=1;j<mid;++j) O[j]=mul(O[j-1],Wn);
        for(int j=0;j<limit;j+=R){
            for(int k=0;k<mid;++k){
                int x=A[j+k],y=mul(O[k],A[j+k+mid]);
                A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y);
            }
        }
    }
    if(type==-1){
        reverse(A+1,A+limit);
        for(int i=0,inv=ksm(limit,P-2);i<limit;++i)
        A[i]=mul(A[i],inv);
    }
}
void work(int *a,int *b,int len){
    if(len==1) return (void)(b[0]=ksm(a[0],P-2));
    work(a,b,len>>1);
    for(int i=0;i<len;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
    NTT(A,1,len<<1),NTT(B,1,len<<1);
    for(int i=0;i<(len<<1);++i)
    A[i]=mul(mul(A[i],B[i]),B[i]);
    NTT(A,-1,len<<1);
    for(int i=0;i<len;++i) b[i]=dec(1ll*b[i]*2%P,A[i]);
}
int main(){
//    freopen("testdata.in","r",stdin);
    n=read();
    for(int i=1;i<n;++i) g[i]=read();
    int len;for(len=1;len<n;len<<=1);
    for(int i=1;i<n;++i) g[i]=P-g[i];g[0]=1;
    work(g,f,len);
    for(int i=0;i<n;++i) print(f[i]);
    Ot();
    return 0;
}