洛谷P3723 [AH2017/HNOI2017]礼物（FFT）

传送门

 

首先，两个数同时增加自然数值相当于只有其中一个数增加（此增加量可以小于0）

我们令$x$为当前的增加量，${a},{b}$分别为旋转后的两个数列，那么$$ans=\sum_{i=1}^n(a_i+x-b_i)^2$$

然后把第$i$项提出来并展开，可得$$(a_i+x-b_i)^2=a_i^2+b_i^2+x^2+2xa_i-2xb_i-2a_ib_i$$

那么答案就是$$ans=\sum_{i=1}^na_i^2+\sum_{i=1}^nb_i^2+nx^2+2x(\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=1}^nb_i)-2\sum_{i=1}^na_ib_i$$

然后发现，答案里面只有最后一项与$a,b$的顺序有关（也就是旋转成了什么样子），前面的项都是常数（对同一个$x$来说），那么我们只要令$\sum_{i=1}^na_ib_i$最大就能让答案最小了

我们考虑一下，如果把数列$b$给反过来，那么最后一项就变成了$\sum_{i=1}^na_ib_{n-i+1}$，这是一个卷积的形式，可以直接用FFT计算1$项的系数）

那么我们把数列$b$反过来，然后把数列$a$倍长，那么两式卷积之后第$n+1$到第$2n$项里面最大值就是最大的$\sum_{i=1}^na_ib_i$

于是只要枚举一下$x$和旋转（多项式的第几项）就好了

//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
inline int read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;int res;
    while(!isdigit(ch=getc()))
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
const int N=400005;const double Pi=acos(-1.0);
struct complex{
    double x,y;
    complex(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
    inline complex operator +(complex b){return complex(x+b.x,y+b.y);}
    inline complex operator -(complex b){return complex(x-b.x,y-b.y);}
    inline complex operator *(complex b){return complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);}
}A[N],B[N];
int n,m,l,r[N],limit=1,a[N],b[N];ll a1,a2,b1,b2,ans=inf;
void FFT(complex *A,int type){
    for(int i=0;i<limit;++i)
    if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
    for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
        complex Wn(cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid));
        for(int R=mid<<1,j=0;j<limit;j+=R){
            complex w(1,0);
            for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn){
                complex x=A[j+k],y=w*A[j+mid+k];
                A[j+k]=x+y,A[j+mid+k]=x-y;
            }
        }
    }
}
int main(){
//    freopen("testdata.in","r",stdin);
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    a[i]=read(),a1+=a[i]*a[i],a2+=a[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)
    b[i]=read(),b1+=b[i]*b[i],b2+=b[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)
    A[i].x=A[i+n].x=a[i],B[i].x=b[n-i+1];
    while(limit<=(n*3)) limit<<=1,++l;
    for(int i=0;i<limit;++i)
    r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    FFT(A,1),FFT(B,1);
    for(int i=0;i<limit;++i) A[i]=A[i]*B[i];
    FFT(A,-1);
    for(int i=0;i<limit;++i) A[i].x=(ll)(A[i].x/limit+0.5);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=-m;j<=m;++j)
    cmin(ans,a1+b1+j*j*n+2ll*j*(a2-b2)-2ll*(ll)A[n+i].x);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}