洛谷P2480 [SDOI2010]古代猪文（卢卡斯定理+中国剩余定理）

传送门

 

好吧我数学差的好像不是一点半点……

题目求的是$G^{\sum_{d|n}C^d_n}mod\ 999911659$

我们可以利用费马小定理$a^{k}\equiv a^{k\ mod\ (p-1)}(mod\ p)$

然后组合数可以直接用Lucas搞

那么就做完啦

然而$p-1$并不是质数orz，费马小定理不能用

那么我们考虑把$p-1$分解质数，$999911658=2*3*4679*35617$

我们先用Lucas定理分别算出对这四个数取模的答案，然后得到四个线性同余方程

然后直接用中国剩余定理解出答案就好了（然而我并不会中国剩余定理orz）

//minamoto
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=999911658;
ll n,G,val,fac[50005],a[4],b[]={2,3,4679,35617};
inline ll ksm(ll x,ll y,ll p){
    ll res=1;
    while(y){
        if(y&1) res=res*x%p;
        x=x*x%p,y>>=1;
    }
    return res;
}
inline void init(ll p){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=p;++i)
    fac[i]=fac[i-1]*i%p;
}
inline ll C(ll n,ll m,ll p){
    if(n<m) return 0;
    return fac[n]*ksm(fac[m],p-2,p)%p*ksm(fac[n-m],p-2,p)%p;
}
ll Lucas(ll n,ll m,ll p){
    if(n<m) return 0;if(!n) return 1;
    return Lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p)%p;
}
inline void CRT(){
    for(int i=0;i<4;++i)
    val=(val+a[i]*(mod/b[i])%mod*ksm(mod/b[i],b[i]-2,b[i]))%mod;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&G);
    if(G%(mod+1)==0) return puts("0"),0;
    for(int k=0;k<4;++k){
        init(b[k]);
        for(ll i=1;i*i<=n;++i)
        if(n%i==0){
            a[k]=(a[k]+Lucas(n,i,b[k]))%b[k];
            if(i*i!=n) a[k]=(a[k]+Lucas(n,n/i,b[k]))%b[k];
        }
    }
    CRT();
    printf("%lld\n",ksm(G,val,mod+1));
    return 0;
}