洛谷P2473 [SCOI2008]奖励关（期望+状压）

传送门

 

我数学期望还是太差了……

先考虑状压模型，设$dp[i][S]$表示第$i$轮，当前宝物状态为$S$，能获得的最大期望分数

然而这个模型有一个问题，第$i$轮不一定能达到状态$S$

那么考虑转化一下，$dp[i][S]$表示第$1$至$i-1$轮的宝物状态为$S$，第$i$至$n$轮的期望分数

那么我们就可以倒推了

那么对于第$k$个宝物，可以分为两种情况

1.可以选，那么此时可以选择选或者不选，则$dp[i][S]+=max\{dp[i+1][S],dp[i+1][S|(1<<k-1)]+a[k]\}$

2.不能选，那么$dp[i][S]+=dp[i+1][S]$

然后因为这玩意儿是一个期望，所以每一次做完之后都得$dp[i][S]/=n$

//minamoto
#include<cstdio>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;int res;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;(ch=getc())<='9'&&ch>='0';res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
const int N=105;
int n,m,sta[17],a[17],S;double dp[N][1<<15];
int main(){
//    freopen("testdata.in","r",stdin);
    m=read(),n=read(),S=1<<n;
    for(int i=1,x;i<=n;++i){
        a[i]=read();
        while(x=read()) sta[i]|=1<<x-1;
    }
    for(int i=m;i;--i)
    for(int j=0;j<S;++j){
        for(int k=1;k<=n;++k){
            if((j&sta[k])==sta[k]) dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j|(1<<k-1)]+a[k]);
            else dp[i][j]+=dp[i+1][j];
        }
        dp[i][j]/=n;
    }
    printf("%.6lf\n",dp[1][0]);
    return 0;
}