CF724G Xor-matic Number of the Graph（线性基+组合数）

 题目描述

给你一个无向图，有n个顶点和m条边，每条边上都有一个非负权值。

我们称一个三元组(u,v,s)是有趣的，当且仅当对于u,v,有一条从u到v的路径(可以经过相同的点和边多次)，其路径上的权值异或和为 s 。对于一条路径，如果一条边经过了多次，则计算异或和时也应计算多次。不难证明，这样的三元组是有限的。

计算所有有趣的三元组中s的和对于1e9+7的模数

题解

 

不知道线性基是什么东西的可以看看蒟蒻的总结

线性基神仙题

首先异或和肯定得用线性基

然后路径肯定得找出所有环

那么先dfs一遍，找出到每个点的任意一条路径，然后把所有的环都给扔进线性基里面，

考虑接下来怎么做

经过深(kan)思(le)熟(ti)虑(jie)，我们发现每一个连通块里的所有点都要两两统计答案，那么我们要根据xor采取一个方法：二进制逐位统计

假设从大到小考虑第$k$位，此时所有点可以分为两类，第$k$位为0或第$k$位为1

先考虑两个点全0或全1的情况，这种情况下两个点异或起来第$k$位为0，对答案没有贡献，那么只有在线性基里存在第$k$位为1的数，异或上这两个点才能使其对答案有贡献

那么这个基必须选，然后剩下的基有$2^{cnt-1}$种选法（$cnt$为线性基里的元素个数），这一位对答案的贡献就是$2^{cnt-1}*2^{k}$

然后不同为0或1的情况同理，这个基必须不能选，剩下的基的选法如上

ps：我上面两个基必须选或不选只是打个比方，真正的意思是把这一个基拿出来，那么如果剩下的异或出来第$k$位是否为0，都能通过异或上这一个数使其第$k$位变为1（如果已经是1就不用异或了），所以剩下的数怎么组合都没有关系，方案数肯定是那么多

然后剩下的……看代码好了

//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline ll read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;ll res;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;(ch=getc())<='9'&&ch>='0';res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
const int N=4e5+5,mod=1e9+7;
ll ans;
int n,m,top,cnt,cir,u,v;ll e;
int head[N],q[N],ver[N<<2],Next[N<<2],tot;ll edge[N<<2];
ll b[105],bin[105],circle[N],dis[N],dig[2];
inline void add(int u,int v,ll e){
    ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e;
}
void dfs(int u,int fa,ll d){
    dis[u]=d,q[++top]=u;
    for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
        int v=ver[i];
        if(v!=fa){
            if(dis[v]==-1) dfs(v,u,dis[u]^edge[i]);
            else circle[++cir]=dis[u]^dis[v]^edge[i]; 
        }
    }
}
inline void insert(ll x){
    for(int i=63;i>=0;--i)
    if(x>>i&1){
        if(!b[i]) return (void)(b[i]=x,++cnt);
        x^=b[i];
    }
}
void init(){
    memset(b,0,sizeof(b)),cnt=0;
    for(int i=1;i<=cir;++i) insert(circle[i]);
}
void calc(){
    init();
    for(int j=0;j<=63;++j){
        bool flag=0;dig[0]=dig[1]=0;
        for(int i=1;i<=top;++i) dig[dis[q[i]]>>j&1]++;
        for(int i=0;i<=63;++i)
        if(b[i]>>j&1){flag=1;break;}
        ll res;
        if(flag){
            res=(dig[0]*(dig[0]-1)/2+dig[1]*(dig[1]-1)/2)%mod;
            if(cnt) (res*=bin[cnt-1])%=mod;
            (res*=bin[j])%=mod;
            (ans+=res)%=mod;
        }
        res=dig[0]*dig[1]%mod;
        if(flag){if(cnt) (res*=bin[cnt-1])%=mod;}
        else (res*=bin[cnt])%=mod;
        (res*=bin[j])%=mod;
        (ans+=res)%=mod;
    }
}
int main(){
//    freopen("testdata.in","r",stdin);
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    bin[0]=1;for(int i=1;i<=63;++i) bin[i]=(bin[i-1]<<1)%mod;
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;++i){
        u=read(),v=read(),e=read();
        add(u,v,e),add(v,u,e);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    if(dis[i]==-1)
    top=cir=0,dfs(i,0,0),calc();
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}