回文自动机学习笔记
前言
刚学完manacher就来学回文自动机……
感觉好像（板子）也不是很难（背）？
前置知识：Manacher（也不一定非要因为和这个没啥关系），知道自动机是个啥以及怎么建
简述
回文树和回文自动机指的是同一个东西
是由某西伯利亚人于2014夏发明的
这东西主要是用于计数，计算回文串的个数以及种类啥的
建树
图我就不放了（太乱了放了也看不懂），要看图的话可以去这位大神的blog里看一下->这里
不过个人感觉看文字描述应该就会了……吧……
首先，回文树里有两棵树，分别记录长度为奇数和偶数的回文串
每个节点代表一个回文串，记录转移$x$，表示如果在这个回文串前后都加上字符$x$形成的回文串是子节点的子串
然后每一个节点记录一个fail指针，指向这个回文串的最长后缀回文串
然后我们考虑建树，假设已经建好了串$s[1...i-1]$，要把字符$s[i]$插入这棵树
那么每一次只会把$s[1...i]$的最长后缀回文串加进树里。
证明：（抄这里的）
我们设后缀回文$i$是最长后缀回文$k$的子串，那么$i$肯定关于$k$的回文中心有一个对称串$j$，由于$k$本身是对称的，所以$j$和$i$是相同的，那么$j$已经被加入到回文树中，所以$i$不必再加入
然后就没问题了。我们设最长回文后缀为$k$，加入字符$c$，那么如果可以，最长回文后缀会变成$ckc$
然而如果$k$之前的字母不是$c$怎么办？这个时候$fail$指针就派上用场了。我们用$fail$维护每一个节点的最长后缀回文，如果$k$不行，我们看看$k$的最长后缀回文是否可行（就是看$k$的最长后缀回文的前一个字母是否等于$c$），然后就这样一直跳$fail$指针直到找到为止（如果一直没有找到会跳到根节点，下面再说）
然后如何维护$fail$呢？我们只要找到了当前节点的最长回文后缀然后记录一下就就好了
然后字符要接在之前的串的后面，记录一下$last$表示上一个串的节点
然后注意特殊处理两个根节点，$0$代表长度为偶数的后缀的根，$1$代表长度为$1$的后缀的根，我们令$fail[0]$指向$1$，$len[1]=-1$，然后令$s[0]=-1$（或任何一个不在原串中出现的字符）（$len$代表这个节点的串长）
就比如说如果跳的时候一直找不到回文怎么办？这个时候这个节点就单独形成一个回文串，那么我们在判断$s[i-len[x]-1]==s[i]$的时候，因为$len[1]=-1$，所以必定会停止，那么就不用担心会无限跳下去了
然后来几道题吧
这就是一个板子，顺便记录一下出现次数就好了
然后该有的注解都会写在代码里
1 //minamoto 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #define ll long long 5 template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;} 6 const int N=3e5+5; 7 char s[N]; 8 int n,p,q,fail[N],cnt[N],len[N],tot,last,ch[N][26]; 9 ll ans; 10 inline int newnode(int x){ 11 //建立一个新节点，长度为x 12 len[++tot]=x;return tot; 13 } 14 inline int getfail(int x,int n){ 15 //跳fail指针知道找到后缀回文为止 16 while(s[n-len[x]-1]!=s[n]) x=fail[x]; 17 return x; 18 } 19 int main(){ 20 scanf("%s",s+1); 21 //一堆乱七八糟的初始化 22 s[0]=-1,fail[0]=1,last=0; 23 len[0]=0,len[1]=-1,tot=1; 24 for(int i=1;s[i];++i){ 25 s[i]-='a'; 26 //找到可以回文的位置 27 p=getfail(last,i); 28 if(!ch[p][s[i]]){ 29 //如果有了转移就不用建了，否则要新建 30 //前后都加上新字符，所以新回文串长度要加2 31 q=newnode(len[p]+2); 32 //因为fail指向的得是原串的严格后缀，所以要从p的fail开始找起 33 fail[q]=ch[getfail(fail[p],i)][s[i]]; 34 //记录转移 35 ch[p][s[i]]=q; 36 } 37 ++cnt[last=ch[p][s[i]]]; 38 } 39 for(int i=tot;i;--i) 40 cnt[fail[i]]+=cnt[i],cmax(ans,1ll*cnt[i]*len[i]); 41 printf("%lld\n",ans); 42 return 0; 43 }
我们肯定要先建出回文自动机的
然后如果是枚举每一个节点暴跳fail指针肯定得T
那么我们对于每一个节点记录一个$trans[i]$，表示小于等于它长度一半的节点
这个可以在建自动机的时候顺便求出来，具体看代码
然后对每一个节点判断长度是否模4为0且$trans[i]$的长度是它的一半就好了
1 //minamoto 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;} 5 const int N=500005; 6 int fail[N],ch[N][26],cnt[N],len[N],trans[N]; 7 int n,m,tot,last,p,q,ans; 8 char s[N]; 9 inline int newnode(int x){ 10 len[++tot]=x;return tot; 11 } 12 inline int getfail(int x,int n){ 13 while(s[n-1-len[x]]!=s[n]) x=fail[x];return x; 14 } 15 void build(){ 16 for(int i=1;s[i];++i){ 17 int x=s[i]-'a'; 18 p=getfail(last,i); 19 if(!ch[p][x]){ 20 q=newnode(len[p]+2); 21 fail[q]=ch[getfail(fail[p],i)][x]; 22 ch[p][x]=q; 23 if(len[q]<=2) trans[q]=fail[q]; 24 else{ 25 int tmp=trans[p]; 26 while(s[i-1-len[tmp]]!=s[i]||(len[tmp]+2)*2>len[q]) tmp=fail[tmp]; 27 trans[q]=ch[tmp][x]; 28 } 29 } 30 cnt[last=ch[p][x]]++; 31 } 32 } 33 int main(){ 34 // freopen("testdata.in","r",stdin); 35 scanf("%d",&n); 36 scanf("%s",s+1); 37 s[0]=-1,fail[0]=1,last=0; 38 len[0]=0,len[1]=-1,tot=1; 39 build(); 40 for(int i=tot;i>=2;--i) cnt[fail[i]]+=cnt[i]; 41 for(int i=2;i<=tot;++i) 42 if((len[trans[i]]<<1)==len[i]&&len[i]%4==0) cmax(ans,len[i]); 43 printf("%d\n",ans); 44 return 0; 45 }
洛谷P4762 [CERC2014]Virus synthesis
先建一个回文自动机，然后记$dp[i]$表示转移到$i$节点代表的回文串的最少的需要次数
首先肯定2操作越多越好，经过2操作之后的串必定是一个回文串，所以最后的答案肯定是由一个回文串+不断暴力添加得来，那么答案就是$min(ans,dp[i]+n-len[i])$
然后对于一个串$i$，如果它在前面和后面加上一个字母可以形成回文串$j$，则$dp[j]=dp[i]+1$
为啥嘞？我们可以假设在形成$i$的之前一步把这个字母加上去，执行2操作后就可以变成$j$了
然后我们可以fail指针找到最长的回文串$x$满足$len[x]<=len[i]/2$，那么$dp[i]=min(dp[i],dp[x]+1+len[i]/2-len[x])$（先暴力填好一半，剩下的用2操作）
然后可以用队列记录状态，保证转移至有序的
至于怎么找$x$，我们可以直接在建自动机的时候顺便求出来，就是多跳几次。这个看代码好了
1 //minamoto 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;} 5 const int N=2e5+5,M=5; 6 char s[N];int dp[N],len[N],fail[N],ch[N][M]; 7 int trans[N],last,p,q,str[N],tot,ans,n,qu[N]; 8 int val[105]; 9 inline int newnode(int x){ 10 len[++tot]=x;memset(ch[tot],0,sizeof(ch[tot])*5);return tot; 11 } 12 inline int getfail(int x,int n){ 13 while(s[n-len[x]-1]!=s[n]) x=fail[x];return x; 14 } 15 inline void init(){ 16 val['A']=0,val['T']=1,val['C']=2,val['G']=3; 17 s[0]=-1,fail[0]=1,last=0; 18 len[0]=0,len[1]=-1,tot=1; 19 memset(ch[0],0,sizeof(int)*5),memset(ch[1],0,sizeof(int)*5); 20 } 21 void ins(int c,int i){ 22 p=getfail(last,i); 23 if(!ch[p][c]){ 24 q=newnode(len[p]+2); 25 fail[q]=ch[getfail(fail[p],i)][c]; 26 ch[p][c]=q; 27 if(len[q]<=2) trans[q]=fail[q]; 28 else{ 29 int tmp=trans[p]; 30 while(s[i-1-len[tmp]]!=s[i]||(len[tmp]+2)*2>len[q]) tmp=fail[tmp]; 31 trans[q]=ch[tmp][c]; 32 } 33 } 34 last=ch[p][c]; 35 // printf("%d\n",last); 36 } 37 int main(){ 38 // freopen("testdata.in","r",stdin); 39 int T;scanf("%d",&T); 40 while(T--){ 41 scanf("%s",s+1); 42 init(),ans=n=strlen(s+1); 43 for(int i=1;i<=n;++i) ins(val[s[i]],i); 44 for(int i=2;i<=tot;++i) dp[i]=len[i]; 45 int h=1,t=0;qu[++t]=0,dp[0]=1; 46 while(h<=t){ 47 int u=qu[h++]; 48 for(int i=0;i<4;++i){ 49 int x=ch[u][i]; 50 if(!x) continue; 51 dp[x]=dp[u]+1; 52 int y=trans[x]; 53 cmin(dp[x],dp[y]+1+len[x]/2-len[y]); 54 cmin(ans,dp[x]+n-len[x]); 55 qu[++t]=x; 56 } 57 } 58 printf("%d\n",ans); 59 } 60 return 0; 61 }
我感觉我整个人都自动机了……
