bzoj4009: [HNOI2015]接水果（整体二分）
题目描述
风见幽香非常喜欢玩一个叫做 osu!的游戏，其中她最喜欢玩的模式就是接水果。由于她已经DT FC 了The big black, 她觉得这个游戏太简单了，于是发明了一个更加难的版本。
首先有一个地图，是一棵由 n 个顶点、n-1 条边组成的树（例如图 1给出的树包含 8 个顶点、7 条边）。
这颗树上有 P 个盘子，每个盘子实际上是一条路径（例如图 1 中顶点 6 到顶点 8 的路径），并且每个盘子还有一个权值。第 i 个盘子就是顶点a_i到顶点b_i的路径(由于是树，所以从a_i到b_i的路径是唯一的)，权值为c_i。
接下来依次会有Q个水果掉下来，每个水果本质上也是一条路径，第i 个水果是从顶点 u_i 到顶点v_i 的路径。
幽香每次需要选择一个盘子去接当前的水果：一个盘子能接住一个水果，当且仅当盘子的路径是水果的路径的子路径（例如图1中从 3到7 的路径是从1到8的路径的子路径）。这里规定:从a 到b的路径与从b到 a的路径是同一条路径。
当然为了提高难度，对于第 i 个水果，你需要选择能接住它的所有盘子中，权值第 k_i 小的那个盘子，每个盘子可重复使用（没有使用次数的上限：一个盘子接完一个水果后，后面还可继续接其他水果，只要它是水果路径的子路径）。幽香认为这个游戏很难，你能轻松解决给她看吗？ 
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输入输出格式
输入格式：
第一行三个数 n和P 和Q，表示树的大小和盘子的个数和水果的个数。 接下来n-1 行，每行两个数 a、b，表示树上的a和b 之间有一条边。树中顶点按1到 n标号。 接下来 P 行，每行三个数 a、b、c，表示路径为 a 到 b、权值为 c 的盘子，其中0<=c<=10^9，a不等于b。 接下来Q行，每行三个数 u、v、k，表示路径为 u到 v的水果，其中 u不等于v，你需要选择第 k小的盘子，第k 小一定存在。
输出格式：
对于每个果子，输出一行表示选择的盘子的权值。
输入输出样例
10 10 10 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 3 2 217394434 10 7 13022269 6 7 283254485 6 8 333042360 4 6 442139372 8 3 225045590 10 4 922205209 10 8 808296330 9 2 486331361 4 9 551176338 1 8 5 3 8 3 3 8 4 1 8 3 4 8 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 4 1 1 4 1
442139372 333042360 442139372 283254485 283254485 217394434 217394434 217394434 217394434 217394434
说明
N,P,Q<=40000。
题解
收获良多……知道了整体二分是个啥……知道了不用CDQ直接求矩形覆盖……balabala（我很好奇自己是怎么看懂题解的）
先考虑一下怎么判断一条路径是否被另一条路劲覆盖
我们记录一下每一个点的dfs序，其中$ls_u=dfn_u,rs_u=dfn_u+size_u-1$，这个应该是基本操作
然后我们考虑一下
我们把路径表示为二维平面上的一个点，$(ls_u,ls_v)(ls_u<ls_v)$，设询问为$x->y$且$ls_x<ls_y$
如果$lca(u,v)!=u$，那么必定满足$x$在$u$的子树里，$y$在$v$的子树内，也就满足$ls_u\leq ls_x \leq rs_u,ls_v\leq ls_y \leq rs_v$，那么就是点$(ls_x,ls_y)$在矩形${(ls_u,ls_v),(rs_u,rs_v)}$里面
如果$lca(u,v)==u$，那么设$z$为$u->v$路径上的第一个点，那么必定有一个点在$v$子树内，另一个点在$v$子树外，就是点$(ls_x,ls_y)$在矩形${(1,ls_v),(ls_z-1,rs_v)}\bigcup {(ls_v,rs_z+1),(rs_v,n)}$里面
那么我们可以整体二分，二分一个答案，然后统计每一个点被矩形覆盖了多少次，然后不断这样做下去就行了
至于怎么快速求一个点被矩形覆盖多少次，可以先排序去掉$x$的影响，然后用树状数组存储前缀和并查询
1 //minamoto 2 #include<iostream> 3 #include<cstdio> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++) 7 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; 8 inline int read(){ 9 #define num ch-'0' 10 char ch;bool flag=0;int res; 11 while(!isdigit(ch=getc())) 12 (ch=='-')&&(flag=true); 13 for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num); 14 (flag)&&(res=-res); 15 #undef num 16 return res; 17 } 18 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z; 19 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;} 20 inline void print(int x){ 21 if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x; 22 while(z[++Z]=x%10+48,x/=10); 23 while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n'; 24 } 25 const int N=40005; 26 int ver[N<<1],Next[N<<1],head[N],tot=0; 27 int val[N],fa[N],dep[N],son[N],sz[N],ls[N],rs[N],top[N]; 28 int n,p,q,cnt,num; 29 inline void add(int u,int v){ 30 ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot; 31 ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot; 32 } 33 void dfs1(int u){ 34 sz[u]=1,dep[u]=dep[fa[u]]+1; 35 for(int i=head[u];i;i=Next[i]){ 36 int v=ver[i]; 37 if(v!=fa[u]){ 38 fa[v]=u,dfs1(v),sz[u]+=sz[v]; 39 if(sz[v]>sz[son[u]]) son[u]=v; 40 } 41 } 42 } 43 void dfs2(int u,int t){ 44 top[u]=t,ls[u]=++num; 45 if(son[u]){ 46 dfs2(son[u],t); 47 for(int i=head[u];i;i=Next[i]){ 48 int v=ver[i]; 49 if(v!=fa[u]&&v!=son[u]) dfs2(v,v); 50 } 51 } 52 rs[u]=num; 53 } 54 inline int LCA(int u,int v){ 55 while(top[u]!=top[v]){ 56 if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v); 57 u=fa[top[u]]; 58 } 59 return dep[u]<dep[v]?u:v; 60 } 61 inline int find(int u,int v){ 62 while(top[u]!=top[v]){ 63 if(fa[top[v]]==u) return top[v]; 64 v=fa[top[v]]; 65 } 66 return son[u]; 67 } 68 int ans[N],sum[N],c[N]; 69 inline void update(int l,int r,int val){ 70 for(;l<=n;l+=l&-l) c[l]+=val; 71 for(++r;r<=n;r+=r&-r) c[r]-=val; 72 } 73 inline int query(int x){ 74 int res=0; 75 for(;x;x-=x&-x) res+=c[x]; 76 return res; 77 } 78 struct plate{int x1,x2,y1,y2,val;}pl[N<<1]; 79 struct fruit{int x,y,k,id;}fr[N],tmp1[N],tmp2[N]; 80 struct node{int x,y1,y2,val,id;}eve[N*5]; 81 inline bool cmp(const plate &a,const plate &b){return a.val<b.val;} 82 inline bool cmp2(const node &a,const node &b){return a.x==b.x?a.id<b.id:a.x<b.x;} 83 void solve(int l,int r,int ql,int qr){ 84 if(ql>qr) return; 85 if(l==r){ 86 for(int i=ql;i<=qr;++i) ans[fr[i].id]=pl[l].val; 87 return; 88 } 89 int a=0,b=0,mid=l+r>>1,tot=0; 90 for(int i=l;i<=mid;++i) 91 eve[++tot]=(node){pl[i].x1,pl[i].y1,pl[i].y2,1,0}, 92 eve[++tot]=(node){pl[i].x2,pl[i].y1,pl[i].y2,-1,q+1}; 93 for(int i=ql;i<=qr;++i) 94 eve[++tot]=(node){fr[i].x,fr[i].y,0,0,i}; 95 sort(eve+1,eve+1+tot,cmp2); 96 for(int i=1;i<=tot;++i) 97 if(ql<=eve[i].id&&qr>=eve[i].id) sum[eve[i].id]=query(eve[i].y1); 98 else update(eve[i].y1,eve[i].y2,eve[i].val); 99 for(int i=ql;i<=qr;++i) 100 if(sum[i]>=fr[i].k) tmp1[++a]=fr[i]; 101 else tmp2[++b]=fr[i],tmp2[b].k-=sum[i]; 102 for(int i=1;i<=a;++i) fr[i+ql-1]=tmp1[i]; 103 for(int i=1;i<=b;++i) fr[i+ql+a-1]=tmp2[i]; 104 solve(l,mid,ql,ql+a-1),solve(mid+1,r,ql+a,qr); 105 } 106 int main(){ 107 //freopen("testdata.in","r",stdin); 108 n=read(),p=read(),q=read(); 109 for(int i=1;i<n;++i){ 110 int u=read(),v=read();add(u,v); 111 } 112 dfs1(1),dfs2(1,1); 113 for(int i=1;i<=p;++i){ 114 int u=read(),v=read(),e=read(),lca=LCA(u,v); 115 if(ls[u]>ls[v]) u^=v^=u^=v; 116 if(u!=lca) 117 pl[++cnt]=(plate){ls[u],rs[u],ls[v],rs[v],e}; 118 else{ 119 int x=find(u,v); 120 if(ls[x]>1) pl[++cnt]=(plate){1,ls[x]-1,ls[v],rs[v],e}; 121 if(rs[x]<n) pl[++cnt]=(plate){ls[v],rs[v],rs[x]+1,n,e}; 122 } 123 } 124 for(int i=1;i<=q;++i){ 125 int u=read(),v=read(),e=read(); 126 if(ls[u]>ls[v]) u^=v^=u^=v; 127 fr[i]=(fruit){ls[u],ls[v],e,i}; 128 } 129 sort(pl+1,pl+1+cnt,cmp),solve(1,cnt,1,q); 130 for(int i=1;i<=q;++i) print(ans[i]); 131 Ot(); 132 return 0; 133 }
