洛谷P2900 [USACO08MAR]土地征用Land Acquisition（斜率优化）

题意

约翰准备扩大他的农场，眼前他正在考虑购买N块长方形的土地。如果约翰单买一块土 地，价格就是土地的面积。但他可以选择并购一组土地，并购的价格为这些土地中最大的长 乘以最大的宽。比如约翰并购一块3 × 5和一块5 × 3的土地，他只需要支付5 × 5 = 25元， 比单买合算。 约翰希望买下所有的土地。他发现，将这些土地分成不同的小组来并购可以节省经费。 给定每份土地的尺寸，请你帮助他计算购买所有土地所需的最小费用。

 

题解

　　一道斜率优化

　　我们先考虑一下，如果某一块土地的长和宽小于等于另一块土地，那么这两块土地可以合并，这块土地可以和另一块一起买

　　所以我们按长为第一关键字，宽为第二关键字，升序排序，那么如果一块土地的长和宽都小于右边的，我们就可以把这块土地忽略不计（相当于合并到另一块里），那么最后留下的土地一定是长度递增，宽度递减的。那么在这一种情况下我们选取的土地一定是连续的一段。为什么呢？假设有$k<j<i$三块土地，那么$w[k]<w[j]<w[i]$且$h[k]>h[j]>h[i]$，那么一起买，花费为$w[i]*h[k]$，而如果不是一起买，即选取的不是连续的区间，比如买$i,k$再买$j$，那么花费就是$w[i]*h[k]+w[j]*h[j]$，不如之前的方案优

　　然后就可以列出转移方程$$dp[i]=min\{dp[j]+h[j+1]*w[i]\}$$

　　假设$j$比$k$更优，则有$$dp[j]+h[j+1]*w[i]<dp[k]+h[k+1]*w[i]$$

　　$$dp[j]-dp[k]<h[k+1]*w[i]-h[j+1]*w[i]$$

　　$$\frac{dp[j]-dp[k]}{h[k+1]-h[j+1]}<w[i]$$

　　然后就可以上斜率优化了

//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;int res;
    while(!isdigit(ch=getc()))
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
const int N=50005;
struct node{
    int x,y;
    inline bool operator <(const node b)const
    {return x==b.x?y<b.y:x<b.x;}
}a[N],b[N];
ll f[N];int n,tot,h,t,q[N];
inline double slope(int j,int k){return (f[k]-f[j])/(b[j+1].y-b[k+1].y);}
int main(){
    //freopen("testdata.in","r",stdin);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) a[i].x=read(),a[i].y=read();
    sort(a+1,a+1+n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(tot&&a[i].y>=b[tot].y) --tot;
        b[++tot]=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=tot;++i){
        while(h<t&&slope(q[h],q[h+1])<b[i].x) ++h;
        f[i]=f[q[h]]+1ll*b[q[h]+1].y*b[i].x;
        while(h<t&&slope(q[t],q[t-1])>slope(q[t-1],i)) --t;q[++t]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[tot]);
    return 0;
}