BZOJ1096 [ZJOI2007]仓库建设（斜率优化）

题目背景

小B的班级数学学到多项式乘法了，于是小B给大家出了个问题：用编程序来解决多项式乘法的问题。

题目描述

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。

工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。

突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。

由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。

对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。

假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：

• 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;
• 工厂i目前已有成品数量Pi;
• 在工厂i建立仓库的费用Ci;

请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

 

输出格式：

 

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

输出样例#1： 复制

32

说明

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。

如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)5+(9-5)3=57，总费用67，不如前者优。

对于20%的数据， N ≤500；

对于40%的数据， N ≤10000；

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

题解

　　妈耶……原来这就是斜率优化么……先膜一波AC666大佬

　　考虑dp$$dp_i=min_{0\leq j<i}\{dp_j+x_i*\sum _{l=j+1}^i p_l-\sum_{l=j+1}^i p_l*x_l \}+c_i$$

　　设$sump_i=\sum _{j=1}^ip_i$，$sum_i=\sum _{j=1}^i p_i*x_i$

　　那么原始可以化简为$$dp_i=min_{0\leq j<i}\{dp_j+x_i(sump_i-sump_j)-(sum_i-sum_j) \}+c_i$$

　　然后假设$j$比$k$更优，且有$j>k$，则有$$dp_j+x_i(sump_i-sump_j)-(sum_i-sum_j)<dp_k+x_i(sump_i-sump_k)-(sum_i-sum_k)$$

　　然后化简得$$dp_j-x_i*sump_j+sum_j<dp_k-x_i*sump_k+sum_k$$

　　$$(dp_j+sum_j)-(dp_k+sum_k)<x_i*sump_j-x_i*sump_k$$

　　$$\frac{(dp_j+sum_j)-(dp_k+sum_k)}{sump_j-sump_k}<x_i$$

　　然后令$Y_i=dp_i-sum_i,X_i=sump_i$

　　那么$$\frac{Y_j-Y_k}{X_j-X_k}<x_i$$

　　然后直接用斜率优化即可

//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;int res;
    while(!isdigit(ch=getc()))
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
const int N=1e6+5;
ll sump[N],sum[N],dp[N];
int n,x[N],p[N],c[N],q[N],h,t;
inline ll Y(int i){
    return dp[i]+sum[i];
}
inline ll X(int i){
    return sump[i];
}
inline double slope(int i,int j){
    return (double)(Y(i)-Y(j))/(X(i)-X(j));
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i){
        x[i]=read(),p[i]=read(),c[i]=read();
        sump[i]=sump[i-1]+p[i];
        sum[i]=sum[i-1]+1ll*p[i]*x[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(h<t&&slope(q[h],q[h+1])<x[i]) ++h;
        int j=q[h];dp[i]=dp[j]+(sump[i]-sump[j])*x[i]-sum[i]+sum[j]+c[i];
        while(h<t&&slope(q[t],q[t-1])>slope(q[t-1],i)) --t;q[++t]=i;
    }
    printf("%lld\n",dp[n]);
    return 0;
}