bzoj3140: [Hnoi2013]消毒（二分图）

题目描述

最近在生物实验室工作的小T遇到了大麻烦。 由于实验室最近升级的缘故，他的分格实验皿是一个长方体,其尺寸为a*b*c，a、b、c 均为正整数。为了实验的方便，它被划分为a*b*c个单位立方体区域，每个单位立方体尺寸为1*1*1。用(i,j,k)标识一个单位立方体，1 <=i<=a，1<=j<=b，1<=k<=c。这个实验皿已经很久没有人用了，现在，小T被导师要求将其中一些单位立方体区域进 行消毒操作（每个区域可以被重复消毒）。

而由于严格的实验要求，他被要求使用一种特定 的F试剂来进行消毒。 这种F试剂特别奇怪，每次对尺寸为x*y*z的长方体区域（它由x*y*z个单位立方体组 成）进行消毒时，只需要使用min{x,y,z}单位的F试剂。F试剂的价格不菲，这可难倒了小 T。

现在请你告诉他，最少要用多少单位的F试剂。(注：min{x,y,z}表示x、y、z中的最小 者。)

输入输出格式

输入格式：

 

第一行是一个正整数D，表示数据组数。接下来是D组数据，每组数据开头是三个数a,b,c表示实验皿的尺寸。接下来会出现a个b 行c列的用空格隔开的01矩阵，0表示对应的单位立方体不要求消毒，1表示对应的单位立方体需要消毒；例如，如果第1个01矩阵的第2行第3列为1，则表示单位立方体(1,2,3)需要被消毒。输入保证满足a*b*c<=5000,T<=3。

 

输出格式：

 

仅包含D行，每行一个整数，表示对应实验皿最少要用多少单位 的F试剂。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

1
4  4 4
1  0 1 1
0  0 1 1
0  0 0 0
0  0 0 0
0  0 1 1
1  0 1 1
0  0 0 0
0  0 0 0
0  0 0 0
0  0 0 0
1  0 0 0
0  0 0 0
0  0 0 0
0  0 0 0
0  0 0 0
1  0 0 0

输出样例#1： 复制

3

说明

对于区域(1,1,3)-(2,2,4)和(1,1,1)-(4,4,1)消毒，分别花费2个单位和1个单位的F试剂。

题解

　　我们先来考虑一下二维的情况

　　对于一整块需要染色的部分，我们可以选择一条一条地去染色（也就是说使每一次的最小值为$1$，另一个就可以随便取了），那么答案肯定不会比直接一块染更差

　　比方说$(1,1)$到$(2,3)$都有，你直接整块染或者每次染一行实际上答案是一样的

　　所以我们对每一个点的$x->y$连一条边，然后要求一个最小点覆盖，等于最大匹配

　　然后怎么考虑三维的情况？我们可不会三分图，那个可没有多项式解法

　　考虑到$a,b,c$中最小的不会超过17（因为$17^3=4913$），所以我们可以考虑枚举这一维，枚举每一层是否直接切掉

　　剩下没有切的层已经是一个二维的情况了，可以直接用二分图跑

　　ps：我抄借鉴代码的时候有很多细节问题不明白，比如二分图为什么可以不用拆成左右两边的点，可以在一排点里直接连。后来发现是因为右边的点有用的只有它与哪个左部点匹配，所以只需要一排点也可以记录这些信息（因为我二分图根本没学过所以理解起来很吃力……以前都是直接用网络流跑的从来没去了解过匈牙利……）

//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
inline int read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;int res;
    while(!isdigit(ch=getc()))
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
const int N=5005;
int head[N],Next[N],ver[N],edge[N],Pre[N],vis[N],tot;
int sx[4][N],a,b,c,ans,st[N],num,mn;
inline void add(int u,int v){
    ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot;
}
bool dfs(int u){
    for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
        int v=ver[i];
        if(!vis[v]){
            vis[v]=true;
            if(!Pre[v]||dfs(Pre[v])){
                Pre[v]=u;return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
void work(int x){
    memset(head,0,sizeof(head));
    memset(Pre,0,sizeof(Pre));
    tot=0;
    int tmp=0;
    for(int i=0;i<a;++i){
        if(x&(1<<i)) st[i+1]=false,++tmp;
        else st[i+1]=true;
    }
    for(int i=1;i<=num;++i)
    if(st[sx[1][i]]) add(sx[2][i],sx[3][i]);
    for(int i=1;i<=b;++i){
        for(int j=1;j<=c;++j) vis[j]=false;
        if(dfs(i)) ++tmp;
    }
    cmin(ans,tmp);
}
int main(){
    int T=read();
    while(T--){
        num=0,ans=inf;
        a=read(),b=read(),c=read();
        mn=min(a,min(b,c));
        for(int i=1;i<=a;++i)
        for(int j=1;j<=b;++j)
        for(int k=1;k<=c;++k){
            int u=read();
            if(!u) continue;
            sx[1][++num]=i;
            sx[2][num]=j;
            sx[3][num]=k;
        }
        if(mn==b) swap(a,b),swap(sx[1],sx[2]);
        else if(mn==c) swap(a,c),swap(sx[1],sx[3]);
        for(int i=0;i<(1<<a);++i) work(i);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}