「BZOJ1095」[ZJOI2007] Hide 捉迷藏
题目描述
Jiajia和Wind是一对恩爱的夫妻，并且他们有很多孩子。某天，Jiajia、Wind和孩子们决定在家里玩捉迷藏游戏。他们的家很大且构造很奇特，由N个屋子和N-1条双向走廊组成，这N-1条走廊的分布使得任意两个屋子都互相可达。
游戏是这样进行的，孩子们负责躲藏，Jiajia负责找，而Wind负责操纵这N个屋子的灯。在起初的时候，所有的灯都没有被打开。每一次，孩子们只会躲藏在没有开灯的房间中，但是为了增加刺激性，孩子们会要求打开某个房间的电灯或者关闭某个房间的电灯。为了评估某一次游戏的复杂性，Jiajia希望知道可能的最远的两个孩子的距离（即最远的两个关灯房间的距离）。
我们将以如下形式定义每一种操作：
- C(hange) i 改变第i个房间的照明状态，若原来打开，则关闭；若原来关闭，则打开。
- G(ame) 开始一次游戏，查询最远的两个关灯房间的距离。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含一个整数N，表示房间的个数，房间将被编号为1,2,3…N的整数。
接下来N-1行每行两个整数a, b，表示房间a与房间b之间有一条走廊相连。
接下来一行包含一个整数Q，表示操作次数。接着Q行，每行一个操作，如上文所示。
输出格式：
对于每一个操作Game，输出一个非负整数到hide.out，表示最远的两个关灯房间的距离。若只有一个房间是关着灯的，输出0；若所有房间的灯都开着，输出-1。
输入输出样例
说明
对于20%的数据， N ≤50, M ≤100；
对于60%的数据， N ≤3000, M ≤10000； 对于100%的数据， N ≤100000, M ≤500000。
题解
神仙般的操作……
我们先假设有以上这么一棵树（图丑勿介）
进行先序遍历，得到$[A[B[E][F[H][I]]][C][D[G]]]$
再把所有字母去掉$[ [ [ ] [ [ ] [ ] ] ] [ ] [ [ ] ] ]$
这就是这一棵树的括号编码（本质是dfs得到的）
花了这么大功夫找，但这玩意儿到底有什么用呢？
我们考虑两个节点，E和G
取出他们之间的那段括号编码$] [ [ ] [ ] ] ] [ ] [ [$
再将所有匹配的括号去掉，得到$] ] [ [$
我们看到了两个$]$和两个$[$
再回到树上，我们发现E向上走两步，再向下走两步就到达了G
于是发现括号序列可以很方便地维护点与点之间的距离
能不能进一步优化呢？
我们发现，对于距离而言，匹配的括号是没有任何意义的
而且，由于距离只需要记录数字，所以维护括号也是没有意义的，只要有编码就行，可以用一个二元组$(a,b)$来描述它，表示有a个$]$和b个$[$
所以，如果有两个点P和Q，如果介于P和Q之间的括号编码表示为$(a,b)$，则P和Q在树上的距离就是a+b
是不是很方便啊~\(≧▽≦)/~啦啦啦
但是现在问题又来了，怎么维护编码呢？
如果可以通过左边一半的信息和右边一半的信息，从而得到整段编码的信息，就可以用我们熟悉的线段树来维护了
我们可以进行如下的分析
考虑对于两段括号编码$s1(a,b)$和$s2(c,d)$，他们合并起来可以得到$s(x,y)$
注意到$s1$和$s2$合并起来时会产生$min(b,c)$的匹配括号，合并后他们会被抵消掉
于是
当 $b<c$ 时第一段 [ 就被消完了，两段 $]$ 连在一起，例如：
$] ] [ [ + ] ] ] [ [ = ] ] ] [ [$
当 $b>=c$ 时第二段 ] 就被消完了，两段 $[ $连在一起，例如：
$] ] [ [ [ + ] ] [ [ = ] ] [ [ [$
于是就得到了几个十分有用的结论
当 $b<c$ 时，$(x,y) = (a-b+c,d)$
当 $b>=c$ 时，$(x,y) = (a,b-c+d)$
于是就可以用线段树维护整棵树的括号编码~\(≧▽≦)/~啦啦啦
题目所要求维护的，是$max\{a+b|s'(a,b)是s的一个子串，且s'位于两黑点之间\}$，我们将这个值表示为$dis(s)$
我们先根据上面的两条结论，得到几个推论
$①x+y=a+d+|b-c|=max((a+b-c+d),(a-b+c+d))$
$②x-y=a-b+c-d$
$③y-x=b-a+d-c$
由①式我们可以发现，要维护$dis(s)$，要维护四个值$a+b,d-c,a-b,d+c$
又为了保证$s'$在两个黑点之间，所以要加上一些限制
于是定义出如下四个参数
$rightplus:max(a+b),s'是s的一个前缀且s紧接在一个黑点之后$
$rightminus:max(a-b),s'是s的一个前缀且s紧接在一个黑点之后$
$leftplus:max(a+b),s'是s的一个后缀且一个黑点紧接在s之后$
$leftminus:max(b-a),s'是s的一个后缀且一个黑点紧接在s之后$
于是我们就可以用左右两半的状态转移到一整段的状态啦
还是考虑$s(x,y),s1(a,b),s2(c,d)$
$(x,y)=b<c?(a-b+c,d):(a,b-c+d)$
$dis(s)=max(dis(s1),dis(s2),rightplus(s1)+leftminus(s2),rightminus(s1)+leftplus(s2))$
（把四个参数的值带入上面的等式很容易发现这是正确的）
然后再来考虑如何求出四个参数呢？
$rightplus(s)=max(rightplus(s1)-c+d,rightminus(s1)+c+d,rightplus(s2))$
$rightminus(s)=max(rightminus(s1)+c-d,rightminus(s2))$
$leftplus(s)=max(leftplus(s2)-b+a,left_minus(s1)+b+a,leftplus(s1))$
$leftminus(s)=max(leftminus(s2)+b-a,leftminus(s1))$
然后就可以用线段树处理整个括号编码了
实际实现的时候还有一些小细节要注意
我们为了实现更方便，最好还是在编码时加入括号
对于底层结点，如果对应字符是一个括号或者一个白点，那 么right_plus、right_minus、left_plus、left_minus、dis 的值就都是 -inf；如果对应字符是一个黑点，那么 right_plus、right_minus、left_plus、left_minus 都是 0，dis 是-inf。
具体细节可以参见代码，注解比较详细（主要是因为自己照着打了一遍也不太看得懂代码……）
1 //minamoto 2 #include<bits/stdc++.h> 3 #define N 100005 4 #define inf 0x3f3f3f3f 5 using namespace std; 6 inline int read(){ 7 #define num ch-'0' 8 char ch;bool flag=0;int res; 9 while(!isdigit(ch=getchar())) 10 (ch=='-')&&(flag=true); 11 for(res=num;isdigit(ch=getchar());res=res*10+num); 12 (flag)&&(res=-res); 13 #undef num 14 return res; 15 } 16 int ver[N<<1],Next[N<<1],head[N]; 17 int v[N*3],pos[N],c[N]; 18 int n,q,cnt,tot,black; 19 struct seg{ 20 int l,r,l1,l2,r1,r2,c1,c2,dis; 21 void init(int x){ 22 dis=-inf; 23 c1=c2=0; 24 if(v[x]==-1) c2=1; 25 if(v[x]==-2) c1=1; 26 /*c2为失配左括号，c1为失配右括号 27 为左括号，c2=1；为右括号，c1=1*/ 28 if(v[x]>0&&c[v[x]]) l1=l2=r1=r2=0; 29 else l1=l2=r1=r2=-inf; 30 /*为黑点，l_plus,l_minus,r_plus,r_minus全为0 31 为白点或括号，全为1*/ 32 } 33 }a[N*12]; 34 inline int max(int a,int b,int c){return max(a,max(b,c));} 35 void add(int u,int v){ 36 ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot; 37 ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot; 38 } 39 void dfs(int u,int fa){ 40 v[++cnt]=-1; 41 v[++cnt]=u; 42 pos[u]=cnt; 43 for(int i=head[u];i;i=Next[i]) 44 if(ver[i]!=fa) dfs(ver[i],u); 45 v[++cnt]=-2; 46 /*进入加左括号，离开加右括号*/ 47 } 48 inline void merge(seg &s,seg s1,seg s2){ 49 /*r1=max(a+b),r2=max(a-b){s1(a,b)是s前缀且s1紧接在一个黑点之后} 50 l1=max(a+b),l2=max(b-a){s2(a,b)是s后缀且s2紧接在一个黑点之前}*/ 51 int a=s1.c1,b=s1.c2,c=s2.c1,d=s2.c2; 52 s.dis=max(s1.dis,s2.dis); 53 s.dis=max(s.dis,s1.r1+s2.l2,s1.r2+s2.l1); 54 /*s.dis=max(s1.dis,s2.dis,a1+b1-a2+b2,a1-b1+a2+b2)*/ 55 b<c?(s.c1=a-b+c,s.c2=d):(s.c1=a,s.c2=b-c+d); 56 s.r1=max(s2.r1,s1.r1-c+d,s1.r2+c+d); 57 /*a+b=max(a1-b1+a2+b2,a1+b1+b2-a2)*/ 58 s.r2=max(s2.r2,s1.r2+c-d); 59 /*a-b=a1-b1+a2-b2*/ 60 s.l1=max(s1.l1,s2.l1-b+a,s2.l2+b+a); 61 /*同上*/ 62 s.l2=max(s1.l2,s2.l2+b-a); 63 /*b-a=b2-a2+b1-a1*/ 64 } 65 void build(int p,int l,int r){ 66 a[p].l=l,a[p].r=r; 67 if(l==r){ 68 a[p].init(l); 69 return; 70 } 71 int mid=(l+r)>>1; 72 build(p<<1,l,mid); 73 build(p<<1|1,mid+1,r); 74 merge(a[p],a[p<<1],a[p<<1|1]); 75 } 76 void modify(int p,int x){ 77 int l=a[p].l,r=a[p].r; 78 if(l==r){a[p].init(l);return;} 79 int mid=(l+r)>>1; 80 if(x<=mid) modify(p<<1,x); 81 else modify(p<<1|1,x); 82 merge(a[p],a[p<<1],a[p<<1|1]); 83 } 84 int main(){ 85 //freopen("testdata.in","r",stdin); 86 black=n=read(); 87 for(int i=1;i<=n;++i) c[i]=1; 88 for(int i=1;i<n;++i){ 89 int u=read(),v=read(); 90 add(u,v); 91 } 92 dfs(1,0); 93 build(1,1,cnt); 94 q=read(); 95 while(q--){ 96 char s[10]; 97 scanf("%s",s); 98 if(s[0]=='C'){ 99 int x=read(); 100 if(c[x]) --black; 101 else ++black; 102 c[x]^=1; 103 modify(1,pos[x]); 104 } 105 else{ 106 if(!black) puts("-1"); 107 else if(black==1) puts("0"); 108 else printf("%d\n",a[1].dis); 109 } 110 } 111 return 0; 112 }
