bzoj1925 [Sdoi2010] 地精部落

题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。

地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为N的山脉H可分为从左到右的N段，每段有一个独一无二的高度Hi，其中Hi是1到N之间的正整数。

如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。

类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。

地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。

地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。

地精们希望这N段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。

现在你希望知道，长度为N的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A和B不同当且仅当存在一个i，使得Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件goblin.in仅含一行，两个正整数N, P。

 

输出格式：

 

输出文件goblin.out仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

4 7

输出样例#1： 

3

说明

【数据规模和约定】

对于20%的数据，满足N≤10；

对于40%的数据，满足N≤18；

对于70%的数据，满足N≤550；

对于100%的数据，满足3≤N≤4200，P≤1e9。

 

题解

好题……思维难度省选，代码难度普及-……

大佬真厉害

首先先弄清楚三个性质

$$性质一：在一个波动序列中，如果数字i与i+1不相邻，那么交换i与i+1，得到的仍然是一个波动序列$$

$$证明：若i为山峰，交换后i+1必然也为山峰。同理，若i+1为山谷，交换后i也必为山谷$$

$$若i为山谷，因为i+1与i不相邻，所以i两边的高度都大于i+1，所以交换后i+1小于其两边，仍为山谷。同理，若i+1为山峰，交换后i也为山峰$$

 

$$性质二：把波动序列中的每一个数i换成n+1-i，得到的仍是一个波动序列$$

$$证明：原来是山峰的地方变为山谷，原来是山谷的地方便为山峰，仍是波动序列$$

 

$$性质三：波动序列具有对称性，即将一个波动序列翻转后仍是波动序列$$

$$证明：正确性显然$$

于是就可以考虑如何写状态转移方程了。设$f[i][j]$表示选了$1$到$i$的数，$j$为第一个数，且$j$为山峰

很明显答案为$\sum_{i=1}^n f[n][i]$

如何转移？

先给出方程：$f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j+1]$

首先，因为由性质一可知，当$j$与$j-1$不相邻时，$j$作为第一个数和$j-1$作为第一个数的方案数相同

又因为$j-1$为山峰，且是第一个数，故$j$与$j-1$必定不相邻

然后，我们来考虑$j$和$j-1$相邻的情况

选了$j$为山峰，则第二个数$j-1$必然为山谷，后面的数为$[1,j-1]$和$[j+1,i]$

问题转变为求$i-1$个数，$j-1$为开头的山谷的方案数

由性质二可得，$j-1$作为山峰和山谷的方案数相同

又因为山峰和山谷是相对位置关系，所以将$[j+1,i]$区间每一个数减一，对方案无影响

于是我们加上$f[i-1][(i-1+1)-(j-1)]$即可

解决了

ps：代码难度和思维难度真心不成正比……

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define N 5005
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<15],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;int res;
    while(!isdigit(ch=getc()))
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
int n,mod,f[2][N];
int main(){
    //freopen("testdata.in","r",stdin);
    n=read(),mod=read();
    f[0][2]=1;
    for(int i=3;i<=n;++i)
    for(int j=2;j<=i;++j)
    f[i&1][j]=(f[i&1][j-1]+f[i-1&1][i-j+1])%mod;
    int ans=0;
    for(int j=2;j<=n;++j)
    ans=(ans+f[n&1][j])%mod;
    printf("%d\n",(ans<<1)%mod);
    return 0;
}