Code Chef GEOCHEAT（凸包+旋转卡壳+随机化）

题面

传送门

题解

以下记\(S_i=\{1,2,3,...,i\}\)

我们先用凸包+旋转卡壳求出直径的长度，并记直径的两个端点为\(i,j\)（如果有多条直径随机取两个端点）

因为这个序列被\(random\_shuffle\)过，有\(E(\max(i,j))=O({2\over 3}n)\)，即\(\max(i,j)\)的较大值的期望是\(O({2\over 3}n)\)。证明如下

\[\begin{aligned} E(\max(i,j)) &={1\over n^2}\sum_{k=1}^nk\times (2k-1)\\ &={1\over n^2}\left(2\sum_{k=1}^nk^2-\sum_{k=1}^nk\right)\\ &={1\over n^2}\left({2n(n+1)(2n+1)\over 6}-{3n(n+1)\over 6}\right)\\ &={1\over n^2}\left({4n^3+3n^2-n\over 6}\right)\\ &=O({2\over 3}n)\\ \end{aligned} \]

假设\(j>i\)，那么对于\(S_{j+1},S_{j+2},...,S_n\)，它们的答案都一样。然后对于剩下的继续做下去就可以了

我们来分析一下这玩意儿的时间复杂度是多少

\[T(n)=T({2\over 3}n)+O(n\log n) \]

\[T(1)=O(1) \]

嗯……我并不会主定理所以算不太动……不过我们可以考虑一个形如\(n+{2\over 3}n+{4\over 9}n+...+1\)的东西的求和，为了方便干脆直接将它写成无限求和的形式，那么可知它等于\(3n\)，即\(O(n)\)。那么这里也类似，所以我们完全没有道理地证明了\(T(n)=O(n\log n)\)

话说不知道如果序列不\(random\_shufle\)有没有办法搞……

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define pi pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define inline __inline__ __attribute__((always_inline))
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int K=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,K+1,stdout),K=-1;}
void print(R ll x){
    if(K>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++K]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++K]=z[Z],--Z);sr[++K]='\n';
}
const int N=7.5e5+5;
struct Point{
	int x,y,id;
	inline Point(){}
	inline Point(R int xx,R int yy):x(xx),y(yy){}
	inline Point operator +(const Point &b)const{return Point(x+b.x,y+b.y);}
	inline Point operator -(const Point &b)const{return Point(x-b.x,y-b.y);}
	inline ll operator *(const Point &b)const{return 1ll*x*b.y-1ll*y*b.x;}
	inline ll norm()const{return 1ll*x*x+1ll*y*y;}
}q[N],p[N];int top,n;ll res,ans[N];pi qwq;
bool cmp(const Point &a,const Point &b){
	R ll k=(a-p[0])*(b-p[0]);
	return k?k>0:(a-p[0]).norm()<(b-p[0]).norm();
}
void solve(int r){
	int k=0;p[0]=Point(inf,inf),top=0;
	fp(i,1,r){
		p[i]=q[i],p[i].id=i;
		if(p[i].x<p[0].x||p[i].x==p[0].x&&p[i].y<p[0].y)k=i,p[0]=p[i];
	}
	swap(p[1],p[k]);
	sort(p+2,p+1+r,cmp);
	fp(i,1,r){
		while(top>1&&(p[i]-p[top-1])*(p[top]-p[top-1])>=0)--top;
		p[++top]=p[i];
	}
	p[top+1]=p[1];
	res=0,qwq=make_pair(0,0);
	for(R int i=1,j=2;i<=top;++i){
		while((p[j+1]-p[i]).norm()>(p[j]-p[i]).norm())j=j%top+1;
		if(cmax(res,(p[j]-p[i]).norm()))qwq=make_pair(p[i].id,p[j].id);
		if(cmax(res,(p[j+1]-p[i+1]).norm()))qwq=make_pair(p[i+1].id,p[j+1].id);
	}
	if(qwq.fi>qwq.se)swap(qwq.fi,qwq.se);
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read();
	fp(i,1,n)q[i].x=read(),q[i].y=read();
	for(R int r=n;r!=1;r=qwq.se-1){
		solve(r);
		fp(i,qwq.se,r)ans[i]=res;
	}
	ans[1]=0;
	fp(i,1,n)print(ans[i]);
	return Ot(),0;
}