拉格朗日乘数法学习笔记

对于一个多元函数\(f(x_1,x_2,x_3,..,x_n)\)，如果它必须满足某一些限制\(g_i(x_1,x_2,x_3,...,x_n)=0\)，我们可以使用拉格朗日乘数法来求它的最值

首先你需要知道什么是偏导数，等高线和梯度向量（鉴于我自己也不知道这些是什么所以大家稍微yy一下就好了）

有一个结论是\(f\)取到最值的时候，它的等高线和所有的\(g_i\)的等高线相切→_→所以它的梯度向量\(\nabla f\)和所有的梯度向量\(\nabla g_i\)平行

梯度向量的每一维就是这个函数对应那一维的偏导数

\[{\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\frac{\partial f}{\partial x_3}······,\frac{\partial f}{\partial x_n})} \]

设\(\nabla f=\lambda \nabla g_i\)，我们可以列出好多个方程

\[{\frac{\partial f}{\partial x_1}=\lambda \frac{\partial g_i}{\partial x_1}} \]

\[{\frac{\partial f}{\partial x_2}=\lambda \frac{\partial g_i}{\partial x_2}} \]

\[{\frac{\partial f}{\partial x_3}=\lambda \frac{\partial g_i}{\partial x_3}} \]

\[...... \]

\[{\frac{\partial f}{\partial x_n}=\lambda \frac{\partial g_i}{\partial x_n}} \]

最后还有

\[g(x_1,x_2,x_3,...,x_n)=0 \]

把\(\lambda\)解出来就可以了。一般来说题目中\(\lambda\)都是满足可二分性的