伯努利数学习笔记

伯努利数

前几项为\(B_0=1,B_1=-{1\over 2},B_2={1\over 6},B_3=0,B_4={1\over 30}\)

递推公式

\[\sum_{i=0}^nB_i{n+1\choose i}=0(n>0) \]

边界条件为\(B_0=1\)

为啥长这样我也不知道啊

转化

推倒推倒

\[\begin{aligned} \sum_{i=0}^nB_i{n+1\choose i}=0(n>0)\\ \sum_{i=0}^{n-1}B_i{n\choose i}=0(n>1)\\ \sum_{i=0}^{n-1}B_i{n\choose i}+B_n=B_n(n>1)\\ \sum_{i=0}^{n}B_i{n\choose i}=B_n(n>1)\\ \sum_{i=0}^n{B_i\over i!(n-i)!}={B_n\over n!}(n>1)\\ \end{aligned} \]

对\(B_i\)构造指数型生成函数，那么左边可以看做\(B(x)\)卷上一个\(e^x\)，于是可以化为

\[B(x)e^x=B(x)+x \]

后面要加上一个\(x\)是因为右边\(n>1\)所以不存在\(B_1\)

\[B(x)={x\over e^x-1} \]

\[B(x)=\left({e^x-1\over x}\right)^{-1} \]

多项式求逆就行了

自然数幂和

先给结论

\[\begin{aligned} S_k(n) &=\sum_{i=0}^{n-1}i^k\\ &={1\over k+1}\sum_{i=0}^k{k+1\choose i}B_in^{k+1-i}\\ \end{aligned} \]

复杂度\(O(k)\)

证明的话，可以去看看shadowice巨巨的归纳法，这里只给出生成函数法的证明（虽然咱觉得生成函数法比归纳法好懂多了……）

我们令\(A(x)\)为\(S_k(n)\)的指数级生成函数，有

\[\begin{aligned} A(x) &=\sum_{i=0}^\infty {S_i(n)x^i\over i!}\\ &=\sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^{n-1}j^i{x^i\over i!}\\ &=\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{i=0}^\infty{j^ix^i\over i!}\\ &=\sum_{j=0}^{n-1}e^{jx}\\ &={e^{nx}-1\over e^x-1}\\ &={B_x(e^{nx}-1)\over x}\\ \end{aligned} \]

考虑\({e^{nx}-1\over x}\)，等于\(\sum_{i=1}^\infty {x^in^i\over i!x}=\sum_{i=0}^\infty {x^in^{i+1}\over (i+1)!}\)

然后让我们考虑\([x^k]A(x)\)（即\(A(x)\)的\(k\)次项的值）是多少

\[\begin{aligned} {S_k(n)\over k!}=\sum_{i=0}^k{{B_i}n^{k-i+1}\over i!(k-i+1)!}\\ S_k(n)={1\over k+1}\sum_{i=0}^k{k+1\choose i}B_in^{k+1-i}\\ \end{aligned} \]

没了

虽然我并不觉得它比拉格朗日差值好用就是了