bzoj2395 [Balkan 2011]Timeismoney（最小乘积生成树+计算几何）

题意

每条边有两个权值\(c,t\)，请求出一颗生成树，使得\(\sum c\times \sum t\)最小

题解

为什么生成树会和计算几何扯上关系……

对于每棵树，设\(x=c,y=t\)，我们可以把它看成平面上的一个点，其中\(\sum c\)为横坐标，\(\sum t\)为纵坐标。那么题目就可以转化成求反比例函数图像上的点\(k=xy\)满足\(k\)最小

我们先求出一棵\(\sum c\)最小的生成树，设这个点为\(A\)，和一棵\(\sum t\)最小的生成树，设为\(B\)，那么如果一个点\(C\)它们更优它肯定在直线\(AB\)的下方

证明：因为\(C\)比\(A,B\)更优，所以\(A,B\)肯定在这个反比例函数图像的上方。如果点\(A\)不在直线下方，画个图就会发现它必定有纵坐标小于\(B\)或者横坐标小于\(A\)，与\(A,B\)的定义矛盾。故如果该点存在必定在直线\(AB\)下方

那么我们需要寻找一个在直线\(AB\)下方且离这条直线最远的一个点\(C\)来更新答案，也就是说要满足\(AB\)叉乘\(AC\)最小，即最小化

\[\begin{aligned} Ans &=(B.x-A.x)(C.y-A.y)-(C.x-A.x)(B.y-A.y)\\ &=C.y(B.x-A.x)-C.x(B.y-A.y)-A.y(B.x-A.x)+A.x(B.y-A.y)\\ \end{aligned} \]

后面两项是常数不用考虑，那么就是要最小化\(C.y(B.x-A.x)-C.x(B.y-A.y)\)。我们把每条边的权值设为\(y(B.x-A.x)-x(B.y-A.y)\)，跑一遍最小生成树就能得到\(C\)了。之后再对\((A,C),(C,B)\)递归下去即可

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define inf 1e18
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
const int N=205,M=10005;
struct eg{
	int u,v,c,t,w;
	inline bool operator <(const eg &b)const{return w<b.w;}
	inline void rd(){u=read()+1,v=read()+1,c=read(),t=read();}
}e[M];
struct node{
	int x,y;
	node(){}
	node(R int xx,R int yy):x(xx),y(yy){}
	inline node operator -(const node &b)const{return node(x-b.x,y-b.y);}
	inline ll operator *(const node &b)const{return 1ll*x*b.y-1ll*y*b.x;}
	inline bool operator >(const node &b)const{return 1ll*x*y==1ll*b.x*b.y?x>b.x:1ll*x*y>1ll*b.x*b.y;}
}mc,mt,res(inf,inf);
int n,m,u,v,fa[N];
int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
node kruskal(){
	int tot=0;node P(0,0);
	fp(i,1,n)fa[i]=i;
	fp(i,1,m){
		u=find(e[i].u),v=find(e[i].v);
		if(u!=v){
			fa[u]=v,++tot;
			P.x+=e[i].c,P.y+=e[i].t;
			if(tot==n-1)break;
		}
	}
	return cmin(res,P),P;
}
void solve(node A,node B){
	fp(i,1,m)e[i].w=1ll*e[i].t*(B.x-A.x)-1ll*e[i].c*(B.y-A.y);
	sort(e+1,e+1+m);
	node C=kruskal();
	if((B-A)*(C-A)>=0)return;
	solve(A,C),solve(C,B);
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read(),m=read();
	fp(i,1,m)e[i].rd();
	fp(i,1,m)e[i].w=e[i].c;
	sort(e+1,e+1+m),mc=kruskal();
	fp(i,1,m)e[i].w=e[i].t;
	sort(e+1,e+1+m),mt=kruskal();
	solve(mc,mt);
	printf("%d %d\n",res.x,res.y);
	return 0;
}