洛谷P3726 [AH2017/HNOI2017]抛硬币（组合数+扩展Lucas）

题面

传送门

题解

果然……扩展\(Lucas\)学了跟没学一样……

我们先考虑\(a=b\)的情况，这种情况下每一个\(A\)胜的方案中\(A\)和\(B\)的所有位上一起取反一定是一个\(A\)败的方案，而平局的方案取反之后仍然是一个平局的方案。那么我们可以用总的方案数\(2^{a+b}\)减去平局的次数除以\(2\)就行了。平局的次数我们可以考虑枚举两边扔了多少次正面，那么答案就是

\[ans=\sum_{i=0}^n {n\choose i}^2={2n\choose n} \]

可以这么证明，\({n\choose i}={n\choose n-i}\)，所以\({n\choose i}^2={n\choose i}\times {n\choose n-i}\)，可以看做是左边\(n\)个里取\(i\)个的方案，右边\(n\)个里取\(n-i\)个的方案。然后我们枚举\(i\)，最后就等价于从\(2n\)个物品里选择\(n\)个物品的方案

接下来是\(a>b\)的情况，首先一种\(A\)败或平局的方案取反之后一定是\(A\)胜。然后\(A\)胜取反之后可能还是\(A\)胜。所以我们需要用总方案数加上\(A\)取反之后仍然获胜的方案数再除以\(2\)

设\(W_A\)表示\(A\)获胜的次数，\(W_B\)同理，那么我们就是要满足\(W_A>W_B\)且\(a-W_A>b-W_B\)，化简之后可得\(a-b>W_A-W_B>0\)

那么我们枚举\(W_B\)和\(W_A-W_B\)，有

\[\begin{aligned} ans &=\sum_{i=0}^b\sum_{j=1}^{a-b-1}{b\choose i}{a\choose i+j}\\ &=\sum_{i=0}^b\sum_{j=1}^{a-b-1}{b\choose b-i}{a\choose i+j}\\ &=\sum_{j=1}^{a-b-1}\sum_{i=0}^b{b\choose b-i}{a\choose i+j}\\ &=\sum_{j=1}^{a-b-1}\sum_{i+k=b+j}{b\choose i}{a\choose k}\\ &=\sum_{j=1}^{a-b-1}{a+b\choose b+j}\\ \end{aligned} \]

然后就\(ok\)了，剩下的用扩展\(Lucas\)计算就行了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
const int N=2e6+5,inf=2147483647;
int fac[2][N],P,k,d1,d2,res;ll a,b;
inline int mul(R int x,R int y,R int p){return 1ll*x*y-1ll*x*y/p*p;}
int ksm(R int x,R ll y,R int p){
    R int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%p)if(y&1)res=1ll*res*x%p;
    return res;
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b)return x=1,y=0,void();
    exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
inline int Inv(int n,int p){
    if(!n)return 0;
    int x,y;exgcd(n,p,x,y);
    x=(x%p+p)%p;return x?x:x+p;
}
int Fac(ll n,int pi,int pk){
    if(!n)return 1;
    int res=ksm(fac[pi!=2][pk],n/pk,pk);
    return 1ll*res*fac[pi!=2][n%pk]%pk*Fac(n/pi,pi,pk)%pk;
}
int C(ll n,ll m,int pi,int pk){
    if(n<m)return 0;
    int r=0;
    for(R ll i=n;i;i/=pi)r+=i/pi;
    for(R ll i=m;i;i/=pi)r-=i/pi;
    for(R ll i=n-m;i;i/=pi)r-=i/pi;
    if(r>=k)return 0;
	int a=Fac(n,pi,pk),b=Fac(m,pi,pk),c=Fac(n-m,pi,pk),res;
    res=1ll*a*Inv(b,pk)%pk*Inv(c,pk)%pk*ksm(pi,r,pk)%pk;
    return 1ll*res*(P/pk)%P*Inv(P/pk,pk)%P;
}
int exLucas(ll n,ll m){
	if(n<m)return 0;
	int res=0;
	(res+=C(n,m,2,d1))%=P;
	(res+=C(n,m,5,d2))%=P;
	return res;
}
void init(){
	fac[0][0]=fac[1][0]=1;
	fp(i,1,512)fac[0][i]=(i&1)?mul(fac[0][i-1],i,512):fac[0][i-1];
	fp(i,1,1953125)fac[1][i]=(i%5)?mul(fac[1][i-1],i,1953125):fac[1][i-1];
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	init();
	while(~scanf("%lld%lld%d",&a,&b,&k)){
		P=ksm(10,k,inf),d1=ksm(2,k,inf),d2=ksm(5,k,inf);
		res=ksm(2,a+b-1,P);
		if(a==b)(res+=P-exLucas((a<<1)-1,a))%=P;
		else{
			fp(i,1,((a-b-1)>>1))(res+=exLucas(a+b,b+i))%=P;
			if(!((a+b)&1))(res+=exLucas(a+b-1,(a+b)>>1))%=P;
		}
		while(res<P/10)putchar('0'),P/=10;
		printf("%d\n",res);
	}
	return 0;
}