[51nod1222] 最小公倍数计数（莫比乌斯反演）

题面

传送门

题解

我此生可能注定要和反演过不去了……死都看不出来为啥它会突然繁衍反演起来啊……

设\(f(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[{ij\over\gcd(i,j)}\leq n]\)，这是一个类似前缀的东西，除了\([i,i]\)型的之外每一个二元组都被算了\(2\)次，所以\({f(n)+n\over 2}\)就是\(lcm\)小于等于\(n\)的二元组个数，答案就是两个前缀和相减的形式

所以现在问题来了，该怎么计算\(f(n)\)呢……

二话不说先推倒吧……顺便下面的除法都是整除……懒得打下取整了……

\[\begin{align} f(n) &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[{ij\over\gcd(i,j)}\leq n]\\ &=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{n\over d}\sum_{j=1}^{n\over d}[ij\leq {n\over d}][(i,j)=1]\\ \end{align} \]

然后？把\([n=1]\)化成\(\sum_{d|n}\mu(d)\)啊

\[\begin{align} f(n) &=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{n\over d}\sum_{j=1}^{n\over d}[ij\leq {n\over d}]\sum_{k|(i,j)}\mu(k)\\ &=\sum_{d=1}^n\sum_{k=1}^{n\over d}\sum_{i=1}^{n\over dk}\sum_{j=1}^{n\over dk}[ikjk\leq {n\over d}]\\ &=\sum_{k=1}^n\sum_{d=1}^{n\over k}\sum_{i=1}^{n\over dk}\sum_{j=1}^{n\over dk}[ijd\leq {n\over k^2}]\\ \end{align} \]

为了保证\([ijd\leq {n\over k^2}]\)有解，所以可以把求和的上界

\[\begin{align} f(n) &=\sum_{k=1}^\sqrt{n}\sum_{d=1}^{n\over k^2}\sum_{i=1}^{n\over dk^2}\sum_{j=1}^{n\over dk^2}[ijd\leq {n\over k^2}]\\ \end{align} \]

然后发现在\(i,j,d\)满足括号里的条件时怎么样都不会超出限制了，所以我们枚举\(k\)，对于每个\(k\)只要求出这样的三元组有多少个就行了

因为这个三元组是无序的，我们可以强制它有序，也就是\(d\leq i\leq j\)，然后分别计算一个数相等，两个数相等，三个数相等的三元组个数，分别乘对应的组合数就行了

复杂度的话……鉴于咱还没学过微积分所以不会算呐……

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
const int N=1e6+5;
bitset<N>vis;int p[N],mu[N],top,sqr,tot;ll n,m;
void init(int n){
	mu[1]=1;
	fp(i,2,n){
		if(!vis[i])p[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(R int j=1;j<=tot&&1ll*i*p[j]<=n;++j){
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0)break;
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
}
ll calc(ll n){
	if(!n)return 0;
	ll res=0,tmp=0,S;
	fp(k,1,sqr)if(mu[k]){
		tmp=0,S=n/(1ll*k*k);
		for(R int i=1;1ll*i*i*i<=S;++i){
			for(R int j=i+1;1ll*i*j*j<=S;++j)
				tmp+=(S/(1ll*i*j)-j)*6+3;
			tmp+=(S/(1ll*i*i)-i)*3;
			++tmp;
		}
		res+=mu[k]*tmp;
	}
	return (res+n)>>1;
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	scanf("%lld%lld",&m,&n),init(sqr=sqrt(n));
	printf("%lld\n",calc(n)-calc(m-1));
	return 0;
}