[51nod1190]最小公倍数之和V2（莫比乌斯反演）

题解

传送门

题解

我是真的不明白这玩意儿是怎么跟反演扯上关系的……

首先

\[\begin{align} ans &=b\sum_{d|b}{1\over d}\sum_{i=a}^{b}i[\gcd(i,b)=d]\\ &=b\sum_{d|b}\sum_{i=\lceil{a\over d}\rceil}^{b\over d}i[gcd(i,{b\over d})=1]\\ \end{align} \]

然后有一个非常神仙的操作……就是强行反演一波，把\([n=1]\)化成\(\sum_{i|n}\mu(i)\)

\[\begin{align} ans &=b\sum_{d|b}\sum_{i=\lceil{a\over d}\rceil}^{b\over d}i\sum_{j|\gcd(i,{b\over d})}\mu(j)\\ &=b\sum_{d|b}\sum_{j|{b\over d}}\mu(j)\sum_{i=\lceil{a\over d}\rceil}^{b\over d}[i \mod j=0]\\ &=b\sum_{d|b}\sum_{j|{b\over d}}\mu(j)\sum_{i=\lceil{a\over d}\rceil}^{b\over d}[i \mod j=0]\\ &={b\over 2}\sum_{d|b}\sum_{j|{b\over d}}\mu(j)j(\lfloor{b\over {dj}}\rfloor+\lceil{a\over {dj}}\rceil)(\lfloor{b\over {dj}}\rfloor-\lceil{a\over {dj}}\rceil+1)\\ &={b\over 2}\sum_{T|b}(\lfloor{b\over T}\rfloor+\lceil{a\over T}\rceil)(\lfloor{b\over T}\rfloor-\lceil{a\over T}\rceil+1)\sum_{d|T}\mu(d)d\\ \end{align} \]

那么我们只要把\(b\)分解一下质因数，然后\(dfs\)找出\(b\)的所有因子就可以了

然而这里还有一个问题，就是\(f(T)=\sum_{d|T}\mu(d)d\)该怎么快速计算

首先我们可以发现\(f\)也是个积性函数，有\(f(p)=1-p,f(p^c)=1-p\)

因为只有次数小于等于\(1\)的质因子会有贡献，所以我们在爆搜枚举因数的时候，如果\(p\nmid i\)，那么\(f(i\times p)=f(i)\times(1-p)\)

然后就没有然后了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
void print(R int x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
const int N=1e5+5,P=1e9+7,inv2=500000004;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
	return res;
}
bitset<N>vis;int p[N],v[N],c[N],top,m,sqr,n,tot,res,g;
void init(int n){
	fp(i,2,n){
		if(!vis[i])p[++tot]=i;
		for(R int j=1;j<=tot&&1ll*i*p[j]<=n;++j){
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0)break;
		}
	}
}
inline int calc(R int x,R int y){
	R int a=n/x,b=(m+x-1)/x;
	return 1ll*(a+b)*(a-b+1)%P*y%P;
}
void dfs(int pos,int val,int mu){
	if(pos==top+1)return res=add(res,calc(val,mu)),void();
	dfs(pos+1,val,mu),mu=mul(mu,dec(1,v[pos]));
	fp(i,1,c[pos])val*=v[pos],dfs(pos+1,val,mu);
}
void solve(){
	top=0,res=0,g=n;
	for(R int i=1;i<=tot&&1ll*p[i]*p[i]<=g;++i)if(g%p[i]==0){
		v[++top]=p[i],c[top]=0;
		while(g%p[i]==0)g/=p[i],++c[top];
	}
	if(g!=1)v[++top]=g,c[top]=1;
	dfs(1,1,1);
	res=1ll*res*n%P*inv2%P;
	print(res);
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
//	freopen("testdata.out","w",stdout);
	int T=read();init(sqr=N-5);
	while(T--)m=read(),n=read(),solve();
	return Ot(),0;
}