uoj#310. 【UNR #2】黎明前的巧克力（FWT）

传送门

不难看出，如果两个子集异或和相等，那么它们的并集异或和为\(0\)

那么题目就转化为了求将异或和为\(0\)的子集分成两个子集的方案数，那么设该子集的大小为\(|S|\)，那么把它分成两个的方案数就是\(2^{|S|}\)

可以看做是每个元素的贡献是\(2\)，然后一个集合的贡献就是其中所有元素的贡献乘起来

可以对于每一块巧克力定义集合幂级数\(f^i(x)=1+2x^{a_i}\)，那么我们要求的就是$$\prod_{i=1}^nfi(x)$$
这个多项式第\(0\)项的系数，这里乘法就是集合对称差卷积

集合对称差卷积到底是个啥子咱也没搞清楚，等咱到时候看完\(vfk\)的论文再来填坑吧……

集合对称差卷积可以用\(FWT\)计算，然后因为集合幂级数的快速沃尔什变换的定义是$$\hat{f_S}=\sum_{T\subseteq U}(-1)^{|S\cap T|}f_T$$
于是当\(|S\cap a_i|\)为偶数时\(\hat{f_S}\)为\(3\)否则为\(-1\)

因为\(FWT\)的和是和的\(FWT\)，所以我们可以先把所有的集合幂级数加起来，然后求一个\(FWT\)

设其中第\(S\)项的系数为\(k\)，其中有\(x\)个\(-1\)，以及\(n-x\)个\(3\)，那么有\(3(n-x)-x=k\)，解得\(x=\frac{3n-k}{4}\)，那么所有集合幂级数乘积的\(FWT\)中这一项的系数就是\((-1)^x3^{n-x}\)

然后再逆\(FWT\)回去就好了

注意最后的答案减掉空集

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
const int N=(1<<20)+5,P=998244353;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
	return res;
}
int A[N],bin[N];
int n,lim,mx,x;
void DFT(int *A){
    for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
        for(R int j=0;j<lim;j+=(mid<<1))
            for(R int k=0;k<mid;++k){
                int x=A[j+k],y=A[j+k+mid];
                A[j+k]=x+y,A[j+k+mid]=x-y;
            }
}
void IDFT(int *A){
    for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
        for(R int j=0;j<lim;j+=(mid<<1))
            for(R int k=0;k<mid;++k){
                int x=A[j+k],y=A[j+k+mid];
                A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y);
            }
    for(R int i=0,inv=ksm(lim,P-2);i<lim;++i)A[i]=mul(A[i],inv);
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read();
	fp(i,1,n){
		x=read(),++A[0],A[x]+=2;
		cmax(mx,x);
	}
	lim=1;while(lim<=mx)lim<<=1;
	bin[0]=1;fp(i,1,n)bin[i]=mul(bin[i-1],3);
	DFT(A);
	fp(i,0,lim-1){
		x=(3*n-A[i])/4;
		A[i]=(x&1)?(P-bin[n-x]):bin[n-x];
	}
	IDFT(A);
	printf("%d\n",dec(A[0],1));
	return 0;
}