P4980 【模板】Polya定理

传送门

根据\(Polya\)定理，设每个置换的循环节个数为\(k_i\)，颜色总数为\(m\)，置换群的大小为\(|G|\)，那么染色的方案数为$$Ans=\frac{\sum_{i=1}^{|G|}m{k_i}}{|G|}$$

然后这题里面置换群分别为转一格，转两格，...，转\(n\)格，则转\(i\)格的置换的循环节大小为\(gcd(i,n)\)，那么答案就可以表示为$$Ans=\frac{\sum_{i=1}^{n}n{gcd(n,i)}}{n}$$
时间复杂度\(O(nlogn)\)非常优秀

那么只好推柿子推柿子$$Ans=\frac{\sum_{i=1}^{n}n{gcd(n,i)}}{n}$$

\[Ans=\frac{\sum_{d=1}^n n^d \sum_{i=1}^n [gcd(i,n)==d]}{n} \]

\[Ans=\frac{\sum_{d|n} n^d \sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor} [gcd(i,{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor} )==d]}{1} \]

\[Ans=\frac{\sum_{d|n} n^d \varphi(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor)}{1} \]

然后因为\(n\)特别大，所以建议在线求\(\varphi\)

然后复杂度就达到\(O(\)能过\()\)了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
void print(int x){if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+48);}
const int N=1e5,P=1e9+7;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
int ksm(R int x,R int y){
    R int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)if(y&1)res=1ll*res*x%P;
    return res;
}
int p[N+5],vis[N+5],phi[N+5],m,n,inv[N+5];
void init(){
    phi[1]=1;fp(i,2,N){
        if(!vis[i])p[++m]=i,phi[i]=i-1;
        for(R int j=1;j<=m&&1ll*i*p[j]<=N;++j){
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}
            phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
    inv[0]=inv[1]=1;fp(i,2,N)inv[i]=((-1ll*P/i*inv[P%i])%P+P)%P;
}
int PHI(int n){
    R int res=n;
    for(R int i=1;1ll*p[i]*p[i]<=n;++i)if(n%p[i]==0){
        res=res-res/p[i];
        while(n%p[i]==0)n/=p[i];
    }if(n!=1)res=res-res/n;
    return res;
}
inline int Phi(R int n){return n<=N?phi[n]:PHI(n);}
inline int Inv(R int n){return n<=N?inv[n]:ksm(n,P-2);}
void solve(){
    n=read();R int res=0;
    for(R int i=1;i*i<=n;++i)if(n%i==0){
        res=add(res,1ll*Phi(i)*ksm(n,n/i)%P);
        if(i*i!=n)res=add(res,1ll*Phi(n/i)*ksm(n,i)%P);
    }print(1ll*res*Inv(n)%P),putchar('\n');
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
    init();
    int T=read();
    while(T--)solve();
    return 0;
}