bzoj3265: 志愿者招募加强版（线性规划+单纯形法）

传送门

鉴于志愿者招募那题我是用网络流写的所以这里还是写一下单纯形好了……

就是要我们求这么个线性规划（\(d_{ij}\)表示第\(i\)种志愿者在第\(j\)天能不能服务，\(x_i\)表示第\(i\)种志愿者选的数量，\(c_i\)表示第\(i\)种志愿者的价格，\(k_j\)表示第\(j\)天需要的志愿者数目，\(n\)表示志愿者总数，\(m\)表示天数）

\[Min\sum_{i=1}^nc_ix_i \]

\[\sum_{i=1}^nd_{ij}x_i\geq k_j \]

\[x_i\geq 0 \]

这个线性规划是求最小值，把它对偶一下转为求最大值（令\(y_i\)表示对偶之后的第\(i\)个式子）

\[Max\sum_{j=1}^m k_jy_j \]

\[\sum_{j=1}^md_{ij}y_j\leq c_i \]

\[y_j\geq 0 \]

那么直接单纯形求解即可

ps：然而论文里看到这题实际上用单纯形是错的，因为原题可以保证最优解是整数然而这题不行，比方说有三种志愿者分别是时间\([1,1],[3,3]\)，代价\(1\)，时间\([1,1],[2,2]\)，代价\(1\)，时间\([2,2],[3,3]\)，代价\(1\)，最优解是三个志愿者各招募\(0.5\)个，然而这是不可能的

pps：有些大佬似乎用费用流写的……不过我暂时还不会线性规划的网络流建图所以看不太懂……

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define inf 1e18
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
const int N=10005,M=1005;const double eps=1e-8;
double a[N][M];int n,m,k,l,r;
void pivot(int l,int e){
	double t=a[l][e];a[l][e]=1;fp(i,0,m)a[l][i]/=t;
	fp(i,0,n)if(i!=l&&fabs(a[i][e])>eps){
		t=a[i][e],a[i][e]=0;
		fp(j,0,m)a[i][j]-=t*a[l][j];
	}
}
void simplex(){
	while(true){
		int l=0,e=0;double mn=inf;
		fp(i,1,m)if(a[0][i]>eps){e=i;break;}if(!e)return;
		fp(i,1,n)if(a[i][e]>eps&&a[i][0]/a[i][e]<mn)mn=a[i][0]/a[i][e],l=i;
		pivot(l,e);
	}
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	m=read(),n=read();fp(i,1,m)a[0][i]=read();
	fp(i,1,n){
		k=read();
		while(k--){
			l=read(),r=read();fp(j,l,r)++a[i][j];
		}a[i][0]=read();
	}simplex();printf("%.0lf\n",-a[0][0]);return 0;
}