https://vjudge.net/problem/Gym-102832J

J - Abstract Painting

题意

在一个平面上画圆，要求如下：

  • 圆的半径\(r\in{1,2,3,4,5}\)

  • 圆心在x轴上

  • 圆上所有的点的横坐标\(x\in[0,n]\)

  • 任意两个圆只能有一个交点(可相切，不可相交).

给定n,和一些必须存在的圆。

问平面上最后的情况会有多少种?

题解

假设圆a与x轴的交点为\((l_a,0),(r_a,0)\)

假设圆b与x轴的交点为\((l_b,0),(r_b,0)\)

要使得两个圆有交点，当且仅当\(l_a< l_b < r_a\);

从左至右枚举每个点的情况，因为半径有5种可能，所以有2^5种情况，

为了便于统计，枚举时，在\(i\)枚举的为\(r_b=i\)的圆。

然后为了避免两个圆相交，需要记录\([i-10,i-1]\)这一段的情况，

对于\(j\in[i-10,i-1]\),记录的值为1表示已经画过一个圆a，满足\(l_a< j < r_a\),因此不能有圆与x轴的左交点为\((j,0)\).

设\(dp[i][j]\)表示第i位，\([i-9,i]\)的情况对应二进制数值为\(j\)

在提前预处理好\(2^5*2^{10}\)种转移是否合法，和转移之后的值。

另外对于\(i<10\)时要特殊判断，因为要求\(l_a\geq0\)

设置条件限制在\(2^5\)种的放置圆的方案即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 5, M = (1 << 10) + 5, T = (1 << 5) + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
int n;
int existCircle[N];
int dp[N][M];
bool sf[M][T];
int val[M][T];
string TransBit(int val)
{
    string s = "";
    for (int i = 0; i < 10; ++i)
        if (val >> i & 1)
            s.push_back('1');
        else
            s.push_back('0');
    return s;
}
int main()
{
    freopen("j.in", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= k; ++i)
    {
        int c, r;
        cin >> c >> r;
        existCircle[c + r] ^= 1 << (r - 1);
    }
    for (int i = 0; i < (1 << 10); ++i)
        for (int j = 0; j < (1 << 5); ++j)
        {
            sf[i][j] = 1;
            int nextVal = i;
            for (int l = 1; l <= 5; ++l)
                if (j >> (l - 1) & 1)
                {
                    if (i >> (10 - 2 * l) & 1)
                    {
                        sf[i][j] = 0;
                        break;
                    }
                    for (int o = 11 - 2 * l; o <= 9; ++o)
                        nextVal |= 1 << o;
                }
            val[i][j] = nextVal >> 1;
            //    cout << '(' << i << ',' << j << ") ";
            //    cout << sf[i][j] << ' ' << TransBit(nextVal) << endl;
        }
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        int limitVal = 0;
        for(int j=1;j<=5;++j)
            if(i-2*j<0)
                limitVal += 1 << (j-1);
        for (int j = 0; j < (1 << 10); ++j)
            for (int l = 0; l < (1 << 5); ++l)
                if ((l & existCircle[i]) == existCircle[i] && sf[j][l] && (l & limitVal) == 0)
                {

                    dp[i][val[j][l]] += dp[i - 1][j];
                    dp[i][val[j][l]] %= mod;
                }
    }
    int ans = 0;
    for (int j = 0; j < (1 << 10); ++j)
        ans += dp[n][j], ans %= mod;
    cout << ans;
    return 0;
}