数据结构与算法之美学习笔记（二叉树基础）

父节点：A节点是B、C、D的父节点。
子节点：同理B、C、D是A节点的子节点。
叶子节点：没有子节点的叫做叶子节点，也叫叶节点，如G、H、I、J、K、L。
兄弟节点：拥有同一个父节点的节点们叫做兄弟节点，如B、C、D是父节点，K、L是父节点等。
树的根节点：没有父节点的节点叫做，如图中E就是树的根节点。

节点高度、节点深度、节点的层数、树的高度：还是用上图来理解。

节点高度：该节点到叶子节点的最长路径（边数，从0开始计算），如F到叶子节点的最长路径也就是到G、H、I、J，所以F节点的高度为2。
节点深度：根节点到该节点的所经历的边数（从0开始计算），如C就是2。
节点的层数：节点深度加1。
树的高度：根节点的高度。

再来看个简单的例子：

二叉树、满二叉树、完全二叉树

满足树的条件，且一个节点最多只能有两个子节点的树就叫做二叉树，分别是左子树和右子树，如下图。

这个图里面，有两个比较特殊的二叉树，分别是编号2和编号3这两个。

编号2是满二叉树，编号3是完全二叉树。

1、满二叉树：

所有叶子节点都在最后一层，并且节点总数为2 ^ n - 1，其中n为树层数。
除叶子节点之外，每个节点都有左右两个子节点。

2、完全二叉树：

叶子节点都在最底下两层。
最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一层，其它层的节点个数都要达到最大。

从长相上来看完全二叉树也不具有特殊性啊，为什么要单独把这种树拎出来呢？

首先要了解到，表示一棵树可以用数组，也可以用链表（链表更直观些），就长下面那样。

基于数组的顺序存储法，我们把根节点存储在下标 i = 1 的位置，那左子节点存储在下标 2 * i = 2 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 3 的位置。以此类推，B 节点的左子节点存储在 2 * i = 2 * 2 = 4 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 2 * 2 + 1 = 5 的位置。

也就是说，我们舍弃下标为0的空间，如果节点 X 存储在数组中下标为 i 的位置，下标为 2 * i 的位置存储的就是左子节点，下标为 2 * i + 1 的位置存储的就是右子节点。反过来，下标为 i/2 的位置存储就是它的父节点。通过这种方式，我们只要知道根节点存储的位置（一般情况下，为了方便计算子节点，根节点会存储在下标为 1 的位置），这样就可以通过下标计算，把整棵树都串起来。

综上，完全二叉树只需要浪费下标为0的空间就可以很好的把树串联起来了，如果不是完全二叉树的话则会浪费调很多空间。

所以，如果某棵二叉树是一棵完全二叉树，那用数组存储无疑是最节省内存的一种方式。因为数组的存储方式并不需要像链式存储法那样，要存储额外的左右子节点的指针。这也是为什么完全二叉树会单独拎出来的原因，也是为什么完全二叉树要求最后一层的子节点都靠左的原因。

如何遍历一棵树

经典的方法有三种，前序遍历、中序遍历和后序遍历。

前序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
中序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。
后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身。

 1 public class BinaryTree {
 2     
 3     /**
 4      * 前序遍历
 5      */
 6     public void preOrder(Node treeNode) {
 7         if (treeNode == null) {
 8             return;
 9         }
10         System.out.print(treeNode.value + " ");
11         preOrder(treeNode.left);
12         preOrder(treeNode.right);
13     }
14 
15     /**
16      * 中序遍历
17      */
18     public void inOrder(Node treeNode) {
19         if (treeNode == null) {
20             return;
21         }
22         inOrder(treeNode.left);
23         System.out.print(treeNode.value + " ");
24         inOrder(treeNode.right);
25     }
26 
27     /**
28      * 后序遍历
29      */
30     public void postOrder(Node treeNode) {
31         if (treeNode == null) {
32             return;
33         }
34         postOrder(treeNode.left);
35         postOrder(treeNode.right);
36         System.out.print(treeNode.value + " ");
37     }
38 
39     /**
40      * 树节点
41      */
42     public static class Node {
43         int value;
44         Node left;
45         Node right;
46 
47         public Node(int value) {
48             this.value = value;
49         }
50 
51         public Node(int value, Node left, Node right) {
52             this.value = value;
53             this.left = left;
54             this.right = right;
55         }
56     }
57 
58 }

什么是二叉查找树

二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树。顾名思义，二叉查找树是为了实现快速查找而生的。不过，它不仅仅支持快速查找一个数据，还支持快速插入、删除一个数据。它是怎么做到这些的呢？

二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值（中序遍历二叉查找树可以输出有序的数据序列）。

二叉查找树的增删查的实现

1、查询数据：

先取根节点，如果满足则返回根节点。
如果小于根节点则在左子树递归查找，大于则在右子树递归查找。

2、添加数据：

若根节点无数据则将数据放入根节点。
插入数据比节点大且右子树为空，则直接插入到右子节点；如果不为空，则递归遍历右子树。
同理，插入数据比节点小且左子树为空，则直接插入到左子节点；如果不为空，则递归遍历左子树。

3、删除数据：

删除的是叶子节点，只需要将父节点中指向要删除节点的指针置为null。
删除的节点只有一个子节点（左子节点或右子节点），我们只需要将其父节点的指向改为其子节点即可（需要根据大小判断放在左还是右）。
删除的节点有两个子节点，找到该节点右子树中最小的节点，把它替换到删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了）。

二叉查找树的查找、插入操作都比较简单易懂，但是它的删除操作就比较复杂了。针对要删除节点的子节点个数的不同，我们需要分三种情况来处理。

第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null。比如图中的删除节点 55。
第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13。
第三种情况是，如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。

实际上，关于二叉查找树的删除操作，还有个非常简单、取巧的方法，就是单纯将要删除的节点标记为“已删除”，但是并不真正从树中将这个节点去掉。

这样原本删除的节点还需要存储在内存中，比较浪费内存空间，但是删除操作就变得简单了很多。而且，这种处理方法也并没有增加插入、查找操作代码实现的难度。

  1 public class BinaryTree {
  2 
  3     /**
  4      * 根节点
  5      */
  6     private Node root;
  7 
  8     /**
  9      * 1、先取根节点，如果满足则返回根节点。
 10      * 2、如果小于根节点则在左子树递归查找，大于则在右子树递归查找。
 11      *
 12      * @param value 查询的值
 13      */
 14     public Node find(int value) {
 15         Node node = root;
 16         while (node != null) {
 17             if (value > node.value) {
 18                 node = node.right;
 19             }
 20             else if (value < node.value) {
 21                 node = node.left;
 22             }
 23             else {
 24                 // value == node.value
 25                 return node;
 26             }
 27         }
 28         return null;
 29     }
 30 
 31     /**
 32      * 1、若根节点无数据则将数据放入根节点。
 33      * 2、插入数据比节点大且右子树为空，则直接插入到右子节点；如果不为空，则递归遍历右子树。
 34      * 3、同理，插入数据比节点小且左子树为空，则直接插入到左子节点；如果不为空，则递归遍历左子树。
 35      *
 36      * @param value 插入的值
 37      */
 38     public void insert(int value) {
 39         if (root == null) {
 40             root = new Node(value);
 41             return;
 42         }
 43         Node node = root;
 44         while (node != null) {
 45             if (value > node.value) {
 46                 if (node.right == null) {
 47                     node.right = new Node(value);
 48                     return;
 49                 }
 50                 node = node.right;
 51             }
 52             else {
 53                 // value <= node.value
 54                 if (node.left == null) {
 55                     node.left = new Node(value);
 56                     return;
 57                 }
 58                 node = node.left;
 59             }
 60         }
 61     }
 62 
 63     /**
 64      * 1、删除的是叶子节点，只需要将父节点中指向要删除节点的指针置为null。
 65      * 2、删除的节点只有一个子节点（左子节点或右子节点），我们只需要将其父节点的指向改为其子节点即可（需要根据大小判断放在左还是右）。
 66      * 3、删除的节点有两个子节点，找到该节点右子树中最小的节点，把它替换到删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了）。
 67      *
 68      * @param value 删除的值
 69      */
 70     public void delete(int value) {
 71         // p指向要删除的节点，初始化指向根节点
 72         Node p = root;
 73         // pp记录的是p的父节点
 74         Node pp = null;
 75         // 找到要删除的节点
 76         while (p != null && p.value != value) {
 77             pp = p;
 78             if (value > p.value) {
 79                 p = p.right;
 80             }
 81             else {
 82                 p = p.left;
 83             }
 84         }
 85         if (p == null) {
 86             // 没有找到要删除的节点
 87             return;
 88         }
 89 
 90         // 要删除的节点有两个子节点，找到右子树的最小节点
 91         if (p.left != null && p.right != null) {
 92             Node minp = p.right;
 93             Node minpp = p;
 94             while (minp.left != null) {
 95                 minpp = minp;
 96                 minp = minp.left;
 97             }
 98             // 将minp的数据替换到p中
 99             p.value = minp.value;
100             p = minp;
101             pp = minpp;
102         }
103 
104         // 删除节点是叶子节点或仅有一个子节点
105         Node child;
106         if (p.left != null) {
107             child = p.left;
108         }
109         else if (p.right != null) {
110             child = p.right;
111         }
112         else {
113             child = null;
114         }
115 
116         if (pp == null) {
117             // 删除的是根节点
118             root = child;
119         }
120         else if (pp.left == p) {
121             pp.left = child;
122         }
123         else {
124             pp.right = child;
125         }
126     }
127 
128     /**
129      * 前序遍历
130      */
131     public void preOrder(Node treeNode) {
132         if (treeNode == null) {
133             return;
134         }
135         System.out.print(treeNode.value + " ");
136         preOrder(treeNode.left);
137         preOrder(treeNode.right);
138     }
139 
140     /**
141      * 中序遍历
142      */
143     public void inOrder(Node treeNode) {
144         if (treeNode == null) {
145             return;
146         }
147         inOrder(treeNode.left);
148         System.out.print(treeNode.value + " ");
149         inOrder(treeNode.right);
150     }
151 
152     /**
153      * 后序遍历
154      */
155     public void postOrder(Node treeNode) {
156         if (treeNode == null) {
157             return;
158         }
159         postOrder(treeNode.left);
160         postOrder(treeNode.right);
161         System.out.print(treeNode.value + " ");
162     }
163 
164     /**
165      * 树节点
166      */
167     public static class Node {
168         int value;
169         Node left;
170         Node right;
171 
172         public Node(int value) {
173             this.value = value;
174         }
175 
176         public Node(int value, Node left, Node right) {
177             this.value = value;
178             this.left = left;
179             this.right = right;
180         }
181     }
182 
183 }

 1 public class BinaryTreeTest {
 2 
 3     public static void main(String[] args) {
 4         //    4
 5         //  2   6
 6         // 1 3 5 7
 7         BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
 8         binaryTree.insert(4);
 9         binaryTree.insert(2);
10         binaryTree.insert(6);
11         binaryTree.insert(1);
12         binaryTree.insert(3);
13         binaryTree.insert(5);
14         binaryTree.insert(7);
15 
16         BinaryTree.Node node = binaryTree.find(4);
17         System.out.println("----- 二叉树前序遍历 -----");
18         binaryTree.preOrder(node);
19         System.out.println("\r\n----- 二叉树中序遍历 -----");
20         binaryTree.inOrder(node);
21         System.out.println("\r\n----- 二叉树后序遍历 -----");
22         binaryTree.postOrder(node);
23 
24         binaryTree.delete(4);
25     }
26 
27 }

二叉查找树中的重复数据如何处理

1、节点扩展：比较容易。

二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。

2、当成新节点处理：不好理解，不过更加优雅。

每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入数据的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。

当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。

对于删除操作，我们也需要先查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。

散列表已经这么强了，为什么还要有二叉查找树（二叉查找树相对于散列表的优势）

1、第一，二叉树有先天的排序优势：散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉查找树来说，我们只需要中序遍历，就可以在 O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。

2、第二，散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在 O(logn)。

3、第三，笼统地来说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比 logn 小，所以实际的查找速度可能不一定比 O(logn) 快。加上哈希函数的耗时，也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。

4、第四，散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。

5、最后，为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表，不然会浪费一定的存储空间。综合这几点，平衡二叉查找树在某些方面还是优于散列表的，所以，这两者的存在并不冲突。我们在实际的开发过程中，需要结合具体的需求来选择使用哪一个。

posted @ 2021-03-15 11:32 被猪附身的人阅读(77) 评论(0) 编辑收藏举报

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