欧拉函数性质
https://blog.csdn.net/yxuanwkeith/article/details/52387873
数论学习笔记 欧拉函数 （一些性质和运用）内置杜教筛
定义
在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的数目。并且用符号φ(n) 表示一个整数的欧拉函数。例如φ(8)=4 。特殊的φ(1)=1 。
一些欧拉函数的性质
性质一
对于一个质数n，φ(n)=n−1
。
证明：
因为n是质数。
性质二
若n=pk
，则φ(n)=pk−pk−1=(p−1)pk−1
。
证明：
因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
性质三
当gcd(n,m)=1
时，φ(nm)=φ(n)∗φ(m)
证明：
φ(n)
是积性函数。
性质四
设n=pk11∗pk22...∗pkmm
，则φ(n)=n∗(1−1p1)∗(1−1p2)∗...(1−1pm)
证明：
根据性质二
当然也可以用容斥的想法去理解。
性质五
欧拉定理：对于互质的整数a,m
有aφ(m)≡1(modm)
。
证明：
这小于n且与n互质的集合时Z
，显然|Z|=φ(n)
，Z=
{p1,p2...pφ(n)
}。
令集合S=
{a∗p1modn,a∗p2modn...a∗pφ(n)modn
}。
因为：
1. 因为a
与n
互质，pi
与n
互质，所以a∗pi
与n
互质，所以a∗p1modn∈Z
2. 若i≠j
，那么a∗pimodn≠a∗pjmodn
反证：
假如a∗pimodn=a∗pjmodn
，设a∗pi=ki∗n+b
那么
因为a与n互质，即n|(pi−pj)
，不成立。
所以S=Z
。
由此我们可以列出等式：
延伸：
费马定理：如果正整数a与p互质，则ap−1≡1(modp)
。
证明：由性质一可得φ(p)=p−1
，代入欧拉定理即可
性质六
设小于n的所有与n互质的数的和为Sum
，Sum=n∗φ(n)2
证明：
首先证明一个结论：如果gcd（n,i）=1
则gcd（n,n−i）=1
。
反证法：如果存在k≠1
使gcd（n,n−i）=k
，那么
(n−i)modk=0
，nmodk=0
可得imodk=0
，即gcd（n,i）=k
，也就是说如果gcd（n,i）=1
，那么gcd（n,n−i）就不能大于1
。
那么就可以得知与n互质的数都是成对存在的，并且和为n，那么就可以得出Sum=n∗φ(n)2 的公式。
性质七
首先p
是个质数。如果imodp=0
，那么φ(i∗p)=p∗φ(i)
（结论一），否则φ(i∗p)=φ(i)∗(p−1)
（结论二）。
证明：
对于第一个结论我们只需证明gcd(n,m)=1
可以得出gcd(n,m+n)=1
即可。
反证法：假设gcd(n,m+n)=b(b≠1)
。设n+m=k1b,m=k2b
。
所以gcd(n,m)至少等于b
。
得证。
对于第二个结论，我们可知由于gcd(i,p)=1 ，φ(i∗p)=φ(p)∗φ(i) ，并且φ(p)=p−1 (性质一，性质三)，得证。
性质八
直接给式子吧…
n=∑d|nφ(d)
根据上面那条式子可以继续推点显而易见的东西
反演一下，φ(n)=∑d|nμ(d)∗nd
信息学中的应用
应用一：线筛φ 函数
这个算法让我们可以在O(n)
的时间得出φ(1)
~φ(n)
的值。
首先我们要用到几条上面提到的性质。
1. φ(n)=n−1
（性质一）
2. 如果imodp=0
，那么φ(i∗p)=p∗φ(i)
（性质七）
3. 如果imodp≠0
，那么φ(i∗p)=φ(i)∗(p−1)
（性质七）
那么根线筛素数的原理一样（积性函数）我们只需根据欧拉函数的性质来进行线筛。
//YxuanwKeith
void Getphi(int Max) {
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= Max; i ++) {
if (!Flag[i]) {
phi[i] = i - 1; // i是质数，第一种情况。
pri[++ pri[0]] = i;
}
for (int j = 1; j <= pri[0]; j ++) {
if (1ll * i * pri[j] > Max) break;
Flag[i * pri[j]] = 1; //筛质数。
if (i % pri[j] == 0) {
phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];//（i % pri[j] = 0），第二种情况
break;
}
phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1); //（i % pri[j] ！= 0），第三种情况
}
}
}应用二：O(n√) 得到φ(n)
直接根据性质四，O(n√) 的枚举n 的所有质因子，然后直接套用公式算，如果n 特别打的话还可以选择用millerrabin+pollarrho 来找质数。
//YxuanwKeith
long long Getphi(long long n) {
long long phi = n;
for (long long i = 2; i * i <= n; i ++) {
if (n % i == 0) {
phi /= i;
phi *= i - 1;
while (n % i == 0) n /= i;
}
}
if (n != 1) phi /= n, phi *= n - 1;
return phi;
}应用三：杜教筛求φ 的前缀和
即求∑ni=1φ(i)，n<=1010
51nod题目连接
由于本文着重讨论欧拉函数的性质，所以就不细讲杜教筛相关内容，有兴趣的可以通过下面的blog了解：
http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009
基本原理：假设我们要计算S(n)=∑ni=1f(i)
根据杜教筛的应用，设f(i)=φ(i)
，我们要找到一个函数g(i)
使得g(i)
的前缀和和f(i)∗g(i)
的前缀和都很好求。根据性质八，不难发现f(i)∗1=id
（1
函数满足各项都为1，id
函数满足id(i)=i
）。
设ϕ(n)=∑ni=1φ(i)
，根据杜教筛:
然后递推进去算就可以了，直接这样算是O(n34)
，但是由于φ
是积性函数，可以预处理出前n23
的ϕ
然后再做杜教筛，复杂度就优化成了O(n23)
//YxuanwKeith
//51nod1239
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 5e6 + 5, MAXM = 1e6 + 5;
const int Mo = 1e9 + 7;
LL n, que[MAXM];
int m, num, pri[MAXN], sum[MAXN], phi[MAXN], ids[MAXM], idl[MAXM], s[MAXM], inv[MAXN];
bool flag[MAXN];
int power(int x, int y) {
int ans = 1;
for (; y; y >>= 1, x = 1ll * x * x % Mo)
if (y & 1) ans = 1ll * ans * x % Mo;
return ans;
}
void prepare() {
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i < MAXN; i ++) {
if (!flag[i]) pri[++ pri[0]] = i, phi[i] = i - 1;
for (int j = 1; j <= pri[0] && 1ll * i * pri[j] < MAXN; j ++) {
int x = i * pri[j];
flag[x] = 1;
if (i % pri[j] == 0) {
phi[x] = phi[i] * pri[j];
break;
}
phi[x] = phi[i] * (pri[j] - 1);
}
}
for (int i = 1; i < MAXN; i ++) sum[i] = (sum[i - 1] + phi[i]) % Mo;
}
int main() {
scanf("%lld", &n);
prepare();
m = sqrt(n);
for (LL l = 1; l <= n; l ++) {
LL d = n / l, r = n / d;
que[++ num] = d;
if (d <= m) ids[d] = num; else idl[l] = num;
l = r;
}
int inv = power(2, Mo - 2);
for (int i = num; i; i --) {
LL x = que[i];
if (x < MAXN) s[i] = sum[x]; else {
int y = x % Mo;
s[i] = 1ll * y * (y + 1) % Mo * inv % Mo;
for (LL l = 2; l <= x; l ++) {
LL p = x / l, r = x / p;
p = (p <= m) ? ids[p] : idl[n / p];
(s[i] -= 1ll * (r - l + 1) * s[p] % Mo) %= Mo;
l = r;
}
}
}
printf("%d\n", (s[1] + Mo) % Mo);
}另外还有一些欧拉函数的变形也可以通过杜教筛来算：
1. f(i)=φ(i)∗i
，f(i)∗id=id2
这个可以扩展到f(i)=φ(i)∗ik
，f(i)∗idk=idk+1
欧拉函数及其部分性质
欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。 通式：φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-...
欧拉函数性质证明 ： n所有约数的欧拉函数和等于n
性质：对于正整数n ∑d|nϕ(d)=n\sum_{d|n}\phi(d) = n 证明过程 (1)如果 n = 1 ϕ(n)=1=n\phi(n) = 1 = n 满足 (2)如果n是...
欧拉函数求法与应用
欧拉函数在OI中是个非常重要的东西,不知道的话会吃大亏的. 欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数. 对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1)....
