有向图强连通分量 Tarjan算法
[有向图强连通分量]
在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
大体来说有3中算法Kosaraju,Trajan,Gabow这三种！后续文章中将相继介绍，首先介绍Tarjan算法
[Tarjan算法]
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。
算法伪代码如下
tarjan(u)
{
DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
Stack.push(u) // 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E // 枚举每一条边
if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
tarjan(v) // 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S) // 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。
返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。
求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。
#include "cstdlib"
#include "cctype"
#include "cstring"
#include "cstdio"
#include "cmath"
#include "algorithm"
#include "vector"
#include "string"
#include "iostream"
#include "sstream"
#include "set"
#include "queue"
#include "stack"
#include "fstream"
#include "strstream"
using namespace std;
#define M 2000 //题目中可能的最大点数
int STACK[M],top=0; //Tarjan 算法中的栈
bool InStack[M]; //检查是否在栈中
int DFN[M]; //深度优先搜索访问次序
int Low[M]; //能追溯到的最早的次序
int ComponetNumber=0; //有向图强连通分量个数
int Index=0; //索引号
vector <int> Edge[M]; //邻接表表示
vector <int> Component[M]; //获得强连通分量结果
void Tarjan(int i)
{
int j;
DFN[i]=Low[i]=Index++;
InStack[i]=true;
STACK[++top]=i;
for (int e=0;e<Edge[i].size();e++)
{
j=Edge[i][e];
if (DFN[j]==-1)
{
Tarjan(j);
Low[i]=min(Low[i],Low[j]);
}
else if (InStack[j])
Low[i]=min(Low[i],DFN[j]);
}
if (DFN[i]==Low[i])
{
cout<<"TT "<<i<<" "<<Low[i]<<endl;
ComponetNumber++;
do
{
j=STACK[top--];
InStack[j]=false;
Component[ComponetNumber].push_back(j);
}
while (j!=i);
}
}
void solve(int N) //此图中点的个数，注意是0-indexed！
{
memset(STACK,-1,sizeof(STACK));
memset(InStack,0,sizeof(InStack));
memset(DFN,-1,sizeof(DFN));
memset(Low,-1,sizeof(Low));
for(int i=0;i<N;i++)
if(DFN[i]==-1)
Tarjan(i);
}
/*
此算法正常工作的基础是图是0-indexed的。
*/
int main()
{
Edge[0].push_back(1);Edge[0].push_back(2);
Edge[1].push_back(3);
Edge[2].push_back(3);Edge[2].push_back(4);
Edge[3].push_back(0);Edge[3].push_back(5);
Edge[4].push_back(5);
int N=6;
solve(N);
cout<<"ComponetNumber is "<<ComponetNumber<<endl;
for(int i=0;i<N;i++)
cout<<Low[i]<<" ";
cout<<endl;
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<Component[i].size();j++)
cout<<Component[i][j];
cout<<endl;
}
return 0;
}
