线段树(segment tree)
线段树在一些acm题目中经常见到，这种数据结构主要应用在计算几何和地理信息系统中。下图就为一个线段树：
(PS：可能你见过线段树的不同表示方式，但是都大同小异，根据自己的需要来建就行。)
1.线段树基本性质和操作
线段树是一棵二叉树，记为T(a, b)，参数a,b表示区间[a,b]，其中b-a称为区间的长度，记为L。
线段树T(a,b)也可递归定义为：
若L>1 : [a, (a+b) div 2]为 T的左儿子；
[(a+b) div 2,b]为T 的右儿子。
若L=1 : T为叶子节点。
线段树中的结点一般采取如下数据结构：
struct Node
{
int left,right; //区间左右值
Node *leftchild;
Node *rightchild;
};
线段树的建立：
Node *build(int l , int r ) //建立二叉树
{
Node *root = new Node;
root->left = l;
root->right = r; //设置结点区间
root->leftchild = NULL;
root->rightchild = NULL;
if ( l +1< r )
{
int mid = (r+l) >>1;
root->leftchild = build ( l , mid ) ;
root->rightchild = build ( mid +1 , r) ;
}
return root;
}
线段树中的线段插入和删除：
增加一个cover的域来计算一条线段被覆盖的次数，因此在建立二叉树的时候应顺便把cover置0。
插入一条线段[c,d]：
void Insert(int c, int d , Node *root )
{
if(c<= root->left&&d>= root->right)
root-> cover++;
else
{
if(c < (root->left+ root->right)/2 ) Insert (c,d, root->leftchild );
if(d > (root->left+ root->right)/2 ) Insert (c,d, root->rightchild );
}
}
删除一条线段[c,d]:
void Delete (int c , int d , Node *root )
{
if(c<= root->left&&d>= root->right)
root-> cover= root-> cover-1;
else
{
if(c < (root->left+ root->right)/2 ) Delete ( c,d, root->leftchild );
if(d > (root->left+ root->right)/2 ) Delete ( c,d, root->rightchild );
}
}
2.线段树的运用
线段树的每个节点上往往都增加了一些其他的域。在这些域中保存了某种动态维护的信息，视不同情况而定。这些域使得线段树具有极大的灵活性，可以适应不同的需求。
例一：
桌子上零散地放着若干个盒子，桌子的后方是一堵墙。如图所示。现在从桌子的前方射来一束平行光， 把盒子的影子投射到了墙上。问影子的总宽度是多少？
这道题目是一个经典的模型。在这里，我们略去某些处理的步骤，直接分析重点问题，可以把题目抽象地描述如下：x轴上有若干条线段，求线段覆盖的总长度，即S1+S2的长度。
2.1最直接的做法：
设线段坐标范围为[min,max]。使用一个下标范围为[min,max-1]的一维数组，其中数组的第i个元素表示[i,i+1]的区间。数组元素初始化全部为0。对于每一条区间为[a,b]的线段，将[a,b]内所有对应的数组元素均设为1。最后统计数组中1的个数即可。
初始 0 0 0 0 0 [1，2] 1 0 0 0 0 [3，5] 1 0 1 1 0 [4，6] 1 0 1 1 1 [5，6] 1 0 1 1 1
其缺点是时间复杂度决定于下标范围的平方，当下标范围很大时（[0,10000]），此方法效率太低。
2.2离散化的做法：
基本思想：先把所有端点坐标从小到大排序，将坐标值与其序号一一对应。这样便可以将原先的坐标值转化为序号后，对其应用前一种算法，再将最后结果转化回来得解。该方法对于线段数相对较少的情况有效。
示例:
[10000,22000] [30300,55000] [44000,60000] [55000,60000]
排序得10000，22000，30300，44000，55000，60000
对应得1， 2， 3， 4， 5， 6
然后是 [1,2] [3,5] [4,6] [5,6]
初始 0 0 0 0 0 [1，2] 1 0 0 0 0 [3，5] 1 0 1 1 0 [4，6] 1 0 1 1 1 [5，6] 1 0 1 1 1
10000，22000，30300，44000，55000，60000
1， 2， 3， 4， 5， 6
(22000-10000)+(60000-30300)=41700
此方法的时间复杂度决定于线段数的平方，对于线段数较多的情况此方法效率太低。
2.3使用线段树的做法：
给线段树每个节点增加一个域cover。cover=1表示该结点所对应的区间被完全覆盖，cover=0表示该结点所对应的区间未被完全覆盖。
如下图的线段树，添加线段[1,2][3,5][4,6]
插入算法：
void Insert(Node *root , int a , int b)
{
int m;
if( root ->cover == 0)
{
m = (root->left+ root->right)/2 ;
if (a == root->left && b == root->right)
root ->cover =1;
else if (b <= m) Insert(root->leftchild , a, b);
else if (a >= m) Insert(root->rightchild , a, b);
else
{
Insert(root->leftchild ,a, m);
Insert(root->rightchild , m, b);
}
}
}
统计算法：
int Count(Node *root)
{
int m,n;
if (root->cover == 1)
return (root-> right - root-> left);
else if (root-> right - root-> left== 1 )return 0;
m= Count(root->leftchild);
n= Count(root->rightchild);
return m+n;
}
