深入理解 FFT

理论前置

知道啥是多项式（即 $f(x)={\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{f}_i{x}^i}$ 这一类东西）。

知道啥是多项式的卷积（即 $(f\times g)(x)=h(x)$，其中 $h_i={\displaystyle \sum _{k=0}^i{f}_k{g}_{i-k}}$）。

知道啥是复数（即 $a+bi$ 这种，其中 $i^2=-1$）。

知道啥是单位根（即 $x^n=1$ 的所有复数解，记作 ${\omega }_n$）。

引入

随着 OI 中毒瘤出题人和毒瘤数数题的变多，我们有时候会需要求两个多项式的卷积，根据定义暴力计算，我们有一个 $\mathcal{O}(n^2)$ 的优秀做法。

显然毒瘤出题人不会止步于此，于是我们需要更快的算法。

这时就需要引入多项式的另外一种表示方法了。

点值表示法

对于 $f(x)$，我们不仅可以通过系数表示法（$f(x)={\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{f}_i{x}^i}$）来表示它，还可以通过点值表示法来表示它。

具体的，对于一个 $n-1$ 次的多项式 $f(x)$，我们可以通过 $n$ 个互不相同的点唯一确定这个多项式，即 $f(x)=[(x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots ,(x_{n-1},y_{n-1})]$，其中 $y_i=f(x_i)$。

这种表示法对我们来说是很好的，因为对于两个多项式 $f(x),g(x)$，只要把点值表示中 $y_i$ 两两相乘即可求出 $h(x)$ 的点值表达（注意：由于 $h(x)$ 是 $n+m-2$ 次多项式，所以需要 $n+m-1$ 个点才能唯一确定 $h(x)$）。这样，我们只需要 $\mathcal{O}(n)$ 的时间复杂度即可求出两个多项式的卷积。

现在让我们整理一下算法流程：

1. 输入两个多项式 $f(x),g(x)$
2. 把 $f(x),g(x)$ 各转成点值表达法（需要 $n+m-1$ 个点）
3. 把点值表达法的 $y_i$ 两两相乘
4. 把点值表达法转成 $h(x)$ 的系数表达法
5. 输出多项式 $h(x)$。

现在为止一切都很好，但是我们会发现还存在一个问题：系数表达法和点值表达法的转换依旧是 $O(n^2)$ 的，所以这个算法除了增大常数之外没有任何好处。

你先别急，先看完下面再说

系数表达法 -> 点值表达法

让我们先从简单的多项式入手，比如 $f(x)=x^2$，我们如何在较快的时间内求出它的点值表达呢？

很简单，我们可以代入一系列的正负值 $\{\pm x_0,\pm x_1,\cdots ,\pm x_{n/2-1}\}$，因为我们有 $f(x)=f(-x)$，所以我们只需要求出 ${\displaystyle \frac{n}{2}}$ 个点的点值表达了。

稍难一点，设 $f(x)=x^3$，由于 $f(-x)=-f(x)$，所以我们依旧可以参考上面的流程。

一般的，对于多项式 $f(x)={\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{f}_i{x}^i}$，我们可以把它分为两半，即 $f_0(x)={\displaystyle \sum _{i=0}^{n/2-1}{f}_{2i}{x}^i}$ 和 $f_1(x)={\displaystyle \sum _{i=0}^{n/2-1}{f}_{2i+1}{x}^i}$，那么我们有

$$\begin{array}{rl}f(x_i)& =f_0(x_i^2)+x_i{f}_1(x_i^2)\\ f(-x_i)& =f_0(x_i^2)-x_i{f}_1(x_i^2)\end{array}$$

可以发现对于 $f_0$ 和 $f_1$，这等价于原问题：多点求值，因此我们可以分治下去求解。

看上去非常不错，但事实上这种做法暗藏着一个陷阱：经过一轮迭代后 $x_i^2$ 均为正值，因此不能再套用这种做法。

怎么解决呢？

可以发现我们想要的是一系列值 $x_0,x_1,\cdots ,x_{n-1}$，使得 $x_{2i}=-x_{2i+1}$，$x_{4i}^2=-x_{4i+2}^2$，$x_{8i}^4=-x_{8i+4}^4\cdots$

这时就需要引入复数了。

不妨设 $x_0=1$，则显然 $x_1=-1$，那么有 $1=x_2^2$，由于 $x_i$ 互不相等，故 $x_2,x_3=i,-i$，以此类推。我们会发现 $x_i$ 实际上就是 $x^n=1$ 的全部复数解，或者说 ${\omega }_n$。

怎么计算 ${\omega }_n$ 呢？可以发现单位根其实就是把单位圆进行了 $n$ 等分，即 ${\omega }_n^k=e^{i(2k\pi /n)}=\cos (2k\pi /n)+i\sin (2k\pi /n)$。

至此，我们就可以通过分治将此算法做到 $\mathcal{O}(n\log n)$ 了。

点值表达法 -> 系数表达法

考虑系数表示法变成点值表示法的另外一种方式：线性代数。

我们有

$$\{\begin{array}{l}{f}_0+x_0{f}_1+x_0^2{f}_2+\cdots +x_0^{n-1}{f}_{n-1}=f(x_0)\\ f_0+x_1{f}_1+x_1^2{f}_2+\cdots +x_1^{n-1}{f}_{n-1}=f(x_1)\\ ⋮\\ f_0+x_{n-1}{f}_1+x_{n-1}^2{f}_2+\cdots +x_{n-1}^{n-1}{f}_{n-1}=f(x_{n-1})\end{array}$$

使用矩阵表示即为

$$\left[\begin{array}{c}f(x_0)\\ f(x_1)\\ ⋮\\ f(x_{n-1})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1& x_0& x_0^2& x_0^3& \cdots & x_0^{n-1}\\ 1& x_1& x_1^2& x_1^3& \cdots & x_1^{n-1}\\ 1& x_2& x_2^2& x_2^3& \cdots & x_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_{n-1}& x_{n-1}^2& x_{n-1}^3& \cdots & x_{n-1}^{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_0\\ f_1\\ ⋮\\ f_{n-1}\end{array}\right]$$

代入 $x_k={\omega }_n^k$ 可得

$$\left[\begin{array}{c}f(x_0)\\ f(x_1)\\ ⋮\\ f(x_{n-1})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& {\omega }_n& {\omega }_n^2& {\omega }_n^3& \cdots & {\omega }_n^{n-1}\\ 1& {\omega }_n^2& {\omega }_n^4& {\omega }_n^6& \cdots & {\omega }_n^{2(n-1)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\omega }_n^{n-1}& {\omega }_n^{2(n-1)}& {\omega }_n^{3(n-1)}& \cdots & {\omega }_n^{(n-1)(n-1)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_0\\ f_1\\ ⋮\\ f_{n-1}\end{array}\right]$$

那么如果我们想要进行 IFFT，本质上就是对上面这个大矩阵求逆。

由于这是一个有一些很好的性质的矩阵，所以它的逆也非常的漂亮：

$${\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& {\omega }_n& {\omega }_n^2& {\omega }_n^3& \cdots & {\omega }_n^{n-1}\\ 1& {\omega }_n^2& {\omega }_n^4& {\omega }_n^6& \cdots & {\omega }_n^{2(n-1)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\omega }_n^{n-1}& {\omega }_n^{2(n-1)}& {\omega }_n^{3(n-1)}& \cdots & {\omega }_n^{(n-1)(n-1)}\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{n}\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& {\omega }_n^{-1}& {\omega }_n^{-2}& {\omega }_n^{-3}& \cdots & {\omega }_n^{-(n-1)}\\ 1& {\omega }_n^{-2}& {\omega }_n^{-4}& {\omega }_n^{-6}& \cdots & {\omega }_n^{-2(n-1)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\omega }_n^{-(n-1)}& {\omega }_n^{-2(n-1)}& {\omega }_n^{-3(n-1)}& \cdots & {\omega }_n^{-(n-1)(n-1)}\end{array}\right]$$

不难发现逆矩阵和原矩阵几乎一模一样，也可以使用 FFT 的方式计算。

至此，我们可以在 $\mathcal{O}(n\log n)$ 的时间内计算两个多项式的乘积。

参考视频