告别年代

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1. 连续时间信号的傅里叶变换一般写为X(jω),而离散时间信号的傅里叶变换一般写为X(e):

    第一个原因是,连续时间信号傅里叶定积分中的ejωt最终会运算成ω,而离散时间信号傅里叶累加中的ejωn最终会运算成e

    第二个原因是,将jω直接替换为s就在形式上得到Laplas变换,将e直接替换为z就在形式上得到z变换。

2. 时间尺度变换 x2(t)=x1(2t)

    x1(2t)可理解为以2倍速播放x1(t),所以对应波形在时间轴上压缩。

3. 因式(1-az-1)=(z-a)/z既引入了一个极点(z=0),又引入了一个零点(z=a)。

    反之,1/(1-az-1)引入了一个零点z=0和一个极点z=a。

4. 因为FIR的脉冲响应是有限长,所以总是可以非递归实现的;

   其次,也可以用递归系统来实现它。

   以滑动平均做例子,最直观的想法就是,每次来一个新的值,丢掉最老的,加上最新的:

   y[n]=y[n-1] - x[n-N]/N + x[n]/N

5. 最简单的广义线性相位系统就是反相器:

    H(e)=e

    除了一些特殊的信号(如单频信号、正负幅值对称的方波或三角波等),一般来说你无法将反相器的输出通过移位的形式重合到原有信号上,即广义线性相位系统不是等时延的。

6. 过冲

    FIR滤波的过冲并不总是存在;例如滑动平均[0.5 0.5]就不存在过冲。简单来说,如果滤波器系数总是大于0,那么滤波后信号将是输入信号的凸组合(滤波器系数和为1,且非负)。然而满足该条件的滤波器系数难以达到锐截止,所以一般来说实用上的FIR总是有过冲的。

7. 乘积与卷积

7.1 连续时间周期信号

     时域乘积 <=> 频域卷积(从综合式子就可以推出来)

7.2 离散时间周期信号

     时域乘积 <=> 频域周期卷积

     时域周期卷积 <=> 频域乘积

7.3 连续时间非周期信号

     时域乘积 <=> 频域卷积

     时域卷积 <=> 频域乘积

7.4 离散时间非周期信号

    时域卷积 <=> 频域乘积

    时域乘积 <=> 频域周期卷积

7.5 一般形式的parseval定理

     A(x)=n=aneinx

     B(x)=n=bneinx

     n=anbn=12πππA(x)B(x)dx

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