线性代数及其应用读书笔记：差分方程中的应用

信号的casorati矩阵

有整数。

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以上，“当方程对所有k成立蕴含c1=c2=c3=0”的意思是，“仅当c1=c2=c3=0时，方程对所有k都成立”。

因此，只要对某一个k（而不要求对所有k）方程仅有平凡解，即可确定u/v/w线性无关（既然对某一个k仅有平凡解，那么对其他k即使有非平凡解也不作数了）。

另一种理解方式是将u/w/w和方程右侧的0都看做离散时间序列（或向量），左侧是对序列做加法，得到的结果也是序列。

例如，若u是离散时间序列[1, 1, 1, ...]，v是离散时间序列[2, 2, 2, ...]，w是离散时间序列[3, 3, 3, ...]，那么这三者显然线性相关。

当我们需要确定c1/c2/c3时，因为有3个未知数，所以我们需要3个方程。于是据此构造出casorati矩阵。

齐次差分方程的解通常具有r^k的形式，这个r^k可看做离散时间复指数信号。

 

化简成一阶方程组

为了从递推关系中导出非递推关系，我们想构造出矩阵A。然后就可以x_k=Ax_k-1=AAx_k-2...

比如方程y_k+3-2y_k+2-5y_k+1+6y_k=0，为了得到y_k+3，我们需要y_k，y_k+1，y_k+2，即三阶递推。

因此我们构造出的矩阵是3x3的。

对于x_k+1和x_k，只往前推了一级，因此只有矩阵A的最后一行是“有用”的。