先看一个解析拓展的例子。
f(z)=1/(1-z)
将其在z=0作级数展开，得到f(z)=1+z+z2+...，收敛域|z|<1。
将其在z=-1作级数展开，得到f(z)=1/2[1+(z+1)/2+(z+1)2/2+...]，收敛域|z+1|<2。
这样，z=-1处的展开式将z=0处的展开式从|z|<1“拓展”到了|z+1|<2。
为了得到一个函数对某区域的解析拓展，一个办法是将该函数对区域的一段边界作映射，方法如下：
1. 将（定义域）区域外的点对边界作反射，反射后的点在区域里了（角度反向）；
2. 反射后的点现在可代入原函数；
3. 将上述step 2的函数值对值域边界作反射（角度再次反向，于是成为共形映射）。
我们从对实轴反射开始，一步步过渡到对任意边界。
第一步：
上式中，等式左边是新构造出的解析函数，其定义域P*是原解析函数定义域P对实轴的反射。我们首先对P*中的数z取共轭得到z*，z*必在P中。于是f(z*)必在Q中。因此对f(z*)再取共轭得到的f*(z)必在Q*中。
当然，上述文字中的P与P*即使有交集，我们也不能就说f*(z)是f(z)的解析拓展；因为在P和P*相交的区域内，f(z)和f*(z)未必相等。但是在特定情况下，f*(z)确实可以成为f(z)的解析拓展。让我们继续。
第二步：
上述情况中的实轴可以推广为一般直线——
第三步：
如果f不是将直线映射为直线，而是将圆周映射为实轴会怎样？
第四步：
上式中，待映射的函数f+(z)定义在圆周外；于是1/z在圆周内。假定f(1/z)将1/z映射到上半平面，那么f(1/z)的共轭[f(1/z)]*就在下半平面。这样，z和1/z关于圆周对称，而f(z)和f+(z)关于实轴对称。
第五步：
“z越过K的反射”是指z关于K的对称点。
