泊松分布与指数分布

假设一事件在任何长为t的时间内出现的次数v(t)服从参数为it的泊松分布（此处i为单位时间内事件发生的平均次数），则相邻两次事件的时间间隔T服从参数为i的指数分布。

 

解释：

直接从泊松分布解释比较困难。因为泊松分布是二项分布在一定条件下的近似，所以我们看二项分布。

设事件发生概率为p，则不发生概率为1-p。所谓“相邻两次事件”，即“在这两次事件之间没有发生事件”。

按二项分布近似到泊松分布的过程，将相邻两次事件之间的时间间隔T分割为很多个小时间段，每段时长为λ，在每个小时间段内发生一次事件的概率为p，不发生概率为1-p。

若在时间点t上发生了一次事件，那么：

在t与t+λ之间没有发生事件的概率为1-p，在t+λ与t+2λ之间发生了事件的概率为p，两次事件之间时间间隔为λ的概率为(1-p)p；

在t与t+2λ之间没有发生事件的概率为(1-p)²，在t+2λ与t+3λ之间发生了事件的概率为p，两次事件之间时间间隔为2λ的概率为(1-p)²p；

……

嗯，这个就有点像指数分布了。

 

我们说指数分布是无记忆的，这会导出一些比较有趣的结论。

例如你上超市买完东西排队交钱，假定你前面只有一个人且你的等待时间符合指数分布，那么不管你到达收银台时那个人已来了多久，你需等待的时间总是具有完全相同的分布。

 

泊松分布的期望是λ，根据到泊松分布和指数分布的关系，可以推测出指数分布的期望是1/λ。