欧拉定理及费马小定理

欧拉定理

1、定义：若a于n互质，则$a^{\phi (n)}\equiv 1(modn)$，这里的$\phi ()$为欧拉函数。

2、欧拉函数的证明
  我们假设在1~n中和n互质的数是$a_1,a_2,a_3,...,a_{\phi (n)}$
  那么$a\ast a_1,a\ast a_2,a\ast a_3,...,a\ast a_{\phi (n)}$也跟n互质。
  并且这$\phi (n)$个数互不相同及两两不同。
  这里又出现了一个问题，那就是为什么两两不同呢？
  我们这里可以用反证法。
  假设有一个$a\ast a_i=a\ast a_j$,那么我们就可以得到$a\ast a_i\equiv a\ast a_j(modn)$,
  然后移项得到$a\ast a_i-a\ast a_j\equiv 0(modn)$。
  提出一个a就是$a\ast (a_i-a_j)\equiv 0(modn)$,又因为a和n互质，所以我们可以约掉a得到$a_i\equiv a_j(modn)$ ，显然和我们得到的条件不同，因此这$\phi (n)$个数是两两不同的。
  因为是1~n之间的数，所以$a_1,a_2,a_3,...,a_{\phi (n)}$和$a\ast a_1,a\ast a_2,a\ast a_3,...,a\ast a_{\phi (n)}$的剩余系是相同的，及模上n之后的集合是相同的。
所以我们可以得到$a\ast a_1+a\ast a_2+a\ast a_3+...+a\ast a_{\phi (n)}\equiv a_1+a_2+a_3+...+a_{\phi (n)}$此时我们提出一a来就能得到$a^{\phi (n)}\ast (a_1+a_2+a_3+...+a_{\phi (n)})\equiv a_1+a_2+a_3+...+a_{\phi (n)}$最后我们约去左右相同的部分我们就能得到$a^{\phi (n)}\equiv 1(modn)$

费马小定理

1、定义：如果p是质数的话那么就有$a^{p-1}\equiv 1(modp)$
2、我们知道对于一个质数p的欧拉函数就等于p-1，那么根据欧拉定理即可得到$$a^{p-1}\equiv 1(modp)$$