心血来潮

来源：浙江省高中数学竞赛14题

那天在 APIO 摸鱼的时候和同学聊天，看到了这个题。然后就口胡了一下。

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答案是 \(k=6\)。构造，设 \(S_{i}=\{7+i+4j\mid j=0,1,\cdots,247\},i=0,1,2,3\)，那么我们选择的六个集合是 \(\{1,2,3\}\cup S_0\cup S_1\)，\(\{1,4,5\}\cup S_0\cup S_2\)，\(\{1,2,6\}\cup S_0\cup S_3\)，\(\{2,4,5\}\cup S_1\cup S_2\)，\(\{3,4,6\}\cup S_1\cup S_3\)，\(\{3,5,6\}\cup S_2\cup S_3\)。

还要证明 \(k\ge 6\)，也就只要证明 \(5\) 个不行。假设有 \(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5\) 合法，则共有 \(5\times 499\lt 3\times 998\) 个元素，因此存在某个元素最多出现 \(2\) 次。假设 \(u\) 只出现在 \(A_1,A_2\) 中，由于 \(|A_1\cup A_2|=|A_1|+|A_2|-|A_1\cap A_2|\le 499+499-1\lt 998\)，所以存在一个元素 \(v\) 不在 \(A_1\) 或 \(A_2\) 中。那么 \(\{u,v\}\) 这个二元子集就没有出现过。

感觉不难啊，但是好像没看到几个人做出来。希望能够被打脸。