To Be Vegetable

求满足下述条件的 $n$ 阶排列 $a$ 的数目：对每个 $i$，要么 $a_i-i\le a_j-j+d$ 对所有 $j\gt i$ 成立，要么 $a_i\ge a_j$ 对所有 $j\lt i$ 成立，这两个条件至少成立一个。

通过打表得知 $d=-1$ 时，答案是 $2^n$；$d=0$ 时，答案是 $Fib_{2n-1}$；$d=1$ 时，答案是 $\frac{3^n-1}{2}$ 。或许你可以对更多的 $d$ 解决这个问题！

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对于一个 $n$ 阶排列 $a$ 的某个元素 $a_i$，定义：

• 若 $i=n$，或对所有 $j\gt i$，有 $a_i-i\le a_j-j+d$，则称 $a_i$ 具有性质 $F$。
• 若 $i=1$，或对所有 $j\lt i$，有 $a_i\ge a_j$，则称 $a_i$ 具有性质 $G$。

求满足下述条件的 $n$ 阶排列 $a$ 的数目：所有元素至少具有性质 $F$ 和性质 $G$ 中的一个。

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称满足条件的排列为好排列。我们将证明好排列的数目是 $f_{2n-1}$，

其中 $f$ 定义为 $f_0=0,f_1=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n(n\in \N)$ 是斐波那契数列。

用归纳法，$n=1,2$ 时显然成立。设 $n\ge 3$。

首先当 $a_1=1$ 时，设 $n-1$ 阶排列 $b=(a_2-1,a_3-1,\cdots a_n-1)$，容易发现 $a$ 是好排列等价于 $b$ 是好排列。而 $a$ 和 $b$ 构成一一对应，所以 $a_1=1$ 时好排列 $a$ 的数目为 $f_{2n-3}$。

当 $a_1\gt 1$ 时，假设 $a_k=1$，我们断言 $a_{k+i-1}=i$ 对 $1\le i\lt a_1$ 成立。（$\ast$）

用反证法。若 $1\le j\lt a_1$ 使得 $a_{k+j-1}\neq j$，设 $j$ 是最小的这样的数。记 $a_p=j$。

• 若 $1\lt p\lt k$，则 $a_p-p=j-p\gt 1-k=a_k-k$，$a_p$ 不具有性质 $F$；$a_p=j\lt a_1$，$a_p$ 不具有性质 $G$。矛盾。
• 若 $k+j\le p\le n$，则 $a_k-k=1-k\gt j-p=a_p-p$，$a_k$ 不具有性质 $F$；$a_k=1\lt a_1$，$a_k$ 不具有性质 $G$。矛盾。

构造排列 $b$：将排列 $a$ 中所有属于区间 $[2,a_1]$ 的值删掉，然后对 $b_i\neq 1$，用 $b_i-a_1+1$ 代替 $b_i$。例如，$a=(4,5,1,2,3,7,6)$ 时，$b=(2,1,4,3)$。注意由性质（$\ast$），在 $a_1$ 固定的情况下，$a$ 到 $b$ 是一一对应。不难证明 $a$ 是好排列等价于 $b$ 是好排列，而 $b$ 的长度为 $n-a_1$，从而固定 $a_1\gt 1$ 时好排列 $a$ 的数目为 $f_{2n-2a_1+1}$。

因此 $n$ 时的好排列数目等于 $f_{2n-3}+\sum_{i=1}^{n-1}f_{2i-1}=f_{2n-3}+\sum_{i=1}^{n-1}(f_{2i}-f_{2i-2})=f_{2n-3}+f_{2n-2}=f_{2n-1}$。

综上，所求答案为 $f_{2n-1}=\frac{1}{\sqrt 5}((\frac{1+\sqrt 5}2)^{2n-1}-(\frac{1-\sqrt 5}{2})^{2n-1})$。

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