To Be Vegetable
求满足下述条件的 \(n\) 阶排列 \(a\) 的数目：对每个 \(i\)，要么 \(a_i-i\le a_j-j+d\) 对所有 \(j\gt i\) 成立，要么 \(a_i\ge a_j\) 对所有 \(j\lt i\) 成立，这两个条件至少成立一个。
通过打表得知 \(d=-1\) 时，答案是 \(2^n\)；\(d=0\) 时，答案是 \(Fib_{2n-1}\)；\(d=1\) 时，答案是 \(\frac{3^n-1}{2}\) 。或许你可以对更多的 \(d\) 解决这个问题！
对于一个 \(n\) 阶排列 \(a\) 的某个元素 \(a_i\)，定义：
- 若 \(i=n\)，或对所有 \(j\gt i\)，有 \(a_i-i\le a_j-j+d\)，则称 \(a_i\) 具有性质 \(F\)。
- 若 \(i=1\)，或对所有 \(j\lt i\)，有 \(a_i\ge a_j\)，则称 \(a_i\) 具有性质 \(G\)。
求满足下述条件的 \(n\) 阶排列 \(a\) 的数目：所有元素至少具有性质 \(F\) 和性质 \(G\) 中的一个。
称满足条件的排列为好排列。我们将证明好排列的数目是 \(f_{2n-1}\)，
其中 \(f\) 定义为 \(f_0=0,f_1=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n(n\in \N)\) 是斐波那契数列。
用归纳法，\(n=1,2\) 时显然成立。设 \(n\ge 3\)。
首先当 \(a_1=1\) 时，设 \(n-1\) 阶排列 \(b=(a_2-1,a_3-1,\cdots a_n-1)\)，容易发现 \(a\) 是好排列等价于 \(b\) 是好排列。而 \(a\) 和 \(b\) 构成一一对应，所以 \(a_1=1\) 时好排列 \(a\) 的数目为 \(f_{2n-3}\)。
当 \(a_1\gt 1\) 时，假设 \(a_k=1\)，我们断言 \(a_{k+i-1}=i\) 对 \(1\le i\lt a_1\) 成立。（\(\ast\)）
用反证法。若 \(1\le j\lt a_1\) 使得 \(a_{k+j-1}\neq j\)，设 \(j\) 是最小的这样的数。记 \(a_p=j\)。
- 若 \(1\lt p\lt k\)，则 \(a_p-p=j-p\gt 1-k=a_k-k\)，\(a_p\) 不具有性质 \(F\)；\(a_p=j\lt a_1\)，\(a_p\) 不具有性质 \(G\)。矛盾。
- 若 \(k+j\le p\le n\)，则 \(a_k-k=1-k\gt j-p=a_p-p\)，\(a_k\) 不具有性质 \(F\)；\(a_k=1\lt a_1\)，\(a_k\) 不具有性质 \(G\)。矛盾。
构造排列 \(b\)：将排列 \(a\) 中所有属于区间 \([2,a_1]\) 的值删掉，然后对 \(b_i\neq 1\)，用 \(b_i-a_1+1\) 代替 \(b_i\)。例如，\(a=(4,5,1,2,3,7,6)\) 时，\(b=(2,1,4,3)\)。注意由性质（\(\ast\)），在 \(a_1\) 固定的情况下，\(a\) 到 \(b\) 是一一对应。不难证明 \(a\) 是好排列等价于 \(b\) 是好排列，而 \(b\) 的长度为 \(n-a_1\)，从而固定 \(a_1\gt 1\) 时好排列 \(a\) 的数目为 \(f_{2n-2a_1+1}\)。
因此 \(n\) 时的好排列数目等于 \(f_{2n-3}+\sum_{i=1}^{n-1}f_{2i-1}=f_{2n-3}+\sum_{i=1}^{n-1}(f_{2i}-f_{2i-2})=f_{2n-3}+f_{2n-2}=f_{2n-1}\)。
综上，所求答案为 \(f_{2n-1}=\frac{1}{\sqrt 5}((\frac{1+\sqrt 5}2)^{2n-1}-(\frac{1-\sqrt 5}{2})^{2n-1})\)。
