闲话 - 20230828

做DP题与计数的时候偶然想起自己出的一些MO题：

我在ABC237（2022-01-30）中遇到了这道题：

求长为 \(n\)，值域 \([1,m]\)，LIS 长为 \(3\) 的整数列数目。\(n\le 1000,m\le 10\)。

这道题是一个 DP of DP 的入门题。

一个月后，MO组自主命题，我从中获得灵感，出了这样一道题：

求长为 \(n\)，值域 \({1,2,3}\)，且包含子序列 \((1,2,3)\) 的整数列数目。

MO题当然就不会有 \(n\) 的范围了。

得到这个灵感时，只有 2 小时就要用题了。我马上开始做它。

做法留作练习时间有点久了，做法不在身边，什么时候拿到了补一个。答案的式子有一点点长。

我的思路是找到下标字典序最小的 \((1,2,3)\)，然后列出一个求和式，用递推法处理。

这道题被放到黑板上。一个小时后，我先上去讲了自己的做法，然后大家开始各显神通。大概写了有四五个做法吧，印象比较深的有一个反面考虑的做法，不需要求和。

这道题是我自认为出的最好的MO题，原因就是它获得了很多不同的做法。

另一道我认为出的比较不错的题，灵感来自CF，是CF1680E:

在 \(2 \times n\) 的矩阵中给定若干个点，求包含这些点的最小连通块大小。\(n\le 2\times 10^5\)。

这题是一个蛮容易的 DP。

我的改编如下：

在 \(2\times 11\) 的矩阵中，求包含 \((1,5),(2,7)\) 的连通块数目。

这题首先要枚举第 \(5,6,7\) 列的选择情况，然后往两边递推，有一点点复杂。答案是 \(30208\)。

我认为这道题好的原因在于它综合了加法原理，乘法原理，枚举法，递推法，对应原理，虽然有些很简单，但基本囊括了常见计数题的一切套路。

这道题在预赛自主命题中用上了，好像没有人做出来。这大概是唯一美中不足之处。

若说再有什么出的好的题了，那就要看向几何了。但现在MO已经看不上传统几何了。

怎么还在摸鱼？写题去！